Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
dx1 dx2 dx3 dx*
О _ 0 _ uaO _ Г) 0 I
ds ds ds ds lf
и следовательно
dx1 ^ дх*_ ds ~~ дх* »
что позволяет переписать предыдущую формулу в виде
(I, 4,5)
ik __ дх*_ , dx[_ dx*_ п -
а*? К Л ds
Внося (I, 4,5—6) в (I, 4,4), легко получаем
Tik = (Qo+P0)^ ^-Sikр0. (1,4,7)
В специальной теории относительности тензор энергии-импульса удовлетворяет весьма важному закону
S-о, (1,4,8)
который является обобщением ньютонианских законов сохранения массы и количества движения.
Для того, чтобы представить этот закон в более наглядной форме, приложим его к системе тел, находящихся в какой-либо конечной области пространства.
Окружим рассматриваемую систему замкнутой поверхностью таким образом, чтобы в течение всего времени движения каждое из тел системы оставалось во внутренней области. Составим далее интеграл
Pi = jjf TUxdydzt (I, 4,9)
взятый по области, ограниченной выбранной поверхностью. 32 Смешанные компоненты тензора энергии-импульса заданы соотношением
Tf=-QUi — QVi — QWf Q
и согласно (I, 4,8) удовлетворяют условию
(1410)
dt дх ду dz e U.*. * "J
При і = I, 2,3 интеграл P1 определяет компоненты количества движения системы, а при / = 4 он равен полной массе системы. Изменение каждой из этих величин со временем задано производными
которые, согласно (I, 4,10), приводятся к виду
Во всех точках поверхности, ограничивающей область интегрирования, ТІ = 0. Поэтому каждый из интегралов правой части, например
Ш ^dxdydz = ^Hldydz'
равен нулю, и мы получаем уравнения
5-0. 1,...4, (1,4,11)
выражающие сохранение количества движения и полной массы системы.
Рассмотрим простой пример. Пусть дана система тел с собственными массами ms, движущихся относительно наблюдателя со скоростями vs. Пренебрегая гравитационным взаимодействием между массами ms, вычислим величину P4, представляющую полную массу т системы.
Интеграл (I, 4,9) приводится в рассматриваемом случае к сумме интегралов, взятых по объему каждого из тел системы. Определим величину интеграла для тела ms. Линейный элемент
ds2== —dx2 — dy2 — dz2 + dt2
дает
I—\2 = 1 IasJ ~~ 1 -Vl
3 735 33 Следовательно,
Вводя элемент собственного объема do>, имеем
dxdydz = d(d (1 — of) 2 .
Если вернуться к обыкновенным единицам измерений, то обе фор мулы примут вид
С - Oo(l — . dxdydz = da) (1 - -J Поэтому интересующий нас интеграл будет
а полная масса системы определится формулой т = —
выражающей зависимость между массой и кинетической энергией.
В общей теории относительности, в которой геометрия пространственно-временного континуума является римановой, закон сохранения в форме (I, 4,8) не имеет места. Необходимое обобщение его может быть получено на основании принципа эквивалентности.
Предположим, что мы имеем случай специальной теории относительности и пользуемся галилеевой системой координат x°t в которой тензор энергии-импульса Г" определяется формулой (І, 4Л) и удовлетворяет закону сохранения (I, 4, 8). Произведя преобразование координат, перейдем к общей системе х?\ в которой тензор энергии-импульса задан компонентами Tf. Согласно определению тензора, имеем
Ta_ дх* дхг гра'
' ~ дха' дх'•
Дифференцируя это равенство по X3, получим
дГ," _ дх° ^xV гра' дх9 Fxn Ту
дх* ~ дх«' OxiOxli V дх' JF дх^'дхУ ' Ф
дха dxv dxv ^ дха' дх1 Oxli дх*' '
34 В галилеевых координатах, для которых компоненты метрического тензора постоянны, символы Кристоффеля имеют нулевые значения. Поэтому на основании формулы преобразования символов Кристоффеля (I, 3,9) можно написать
д*ха _ ра' д*ху' __ дхг дх?/ ру; ajfi'ax* " дх*' ?'vS axfdjfi дх1 д? /v*
Произведя подстановку, получим
< = < + г,VT -ггл)
а*" a*' ^ w pv ,р rJ
или, в соответствии с определением ковариантной производной (I, 3,12),
дх? ~ дха' дх1 дх» Положив а = ?, имеем после свертывания
Я? _ дх1' т«-
JF ~ Ulria"
дх1
Умножая это соотношение на и суммируя по индексу г, находим
В галилеевых координатах (т. е. в отсутствие поля гравитации) тензор энергии-импульса удовлетворяет закону (I, 4,8). Поэтому в поле гравитации, отвечающем общим координатам х°\ этот тензор следует закону
Tf7e-=Oi (1,4,13)
т. е. имеет исчезающую ковариантную расходимость.
Рассматриваемое поле гравитации является частной формой общего гравитационного поля и по физической природе не отличается от последнего. Поэтому естественно принять, что и в общем случае закон сохранения энергии-импульса выражается тем же тензорным равенством.
Закон (I, 4,13) в общем случае не приводится к столь простой форме, как в специальной теории относительности. Однако, применяя его к конечной системе тел и пренебрегая внешними полями, его можно привести к соотношению, выражающему сохранение некоторых свойств системы.
Введем так называемую плотность тензора энергии-импульса
FI = TkiV^g. (1,4,14)
3* 35 и образуем ее обыкновенную четырехмерную расходимость. Внося в очевидное соотношение
^a r S д а 1 ' п„а
дха ^dxa Dxa
