Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
этим приближением. Однако в тон-
936 РЕМИЗОВИЧ В. С., РОГОЗКИН Д. Б., РЯЗАНОВ М. И.
ких слоях при вычислении энергетического спектра частиц в разложении (7)
нужно учитывать много слагаемых [17], и приближение Фоккера - Планка
оказывается недостаточным.
В работе [29] был развит метод приближенного решения уравнения переноса,
который позволяет обобщить известные результаты для тонких [42-44] и
толстых [27, 28, 45-47] слоев вещества. В [29] использовано то
обстоятельство, что в подавляющей области глубин энергетический спектр
тяжелых частиц имеет резко выраженный максимум при Т = Гн.в (*)*, а емакс
(Т) и ^неупр (Т | е) являются плавными функциями энергии, и приближенно
положено
емакс
(Г)~
^манс (Гн.в (г)); (18)
HW.P (Г | е) ~ (Тал (z) I 8). (19)
Допущение (18), (19) позволяет представить интеграл неупругих
столкновений (7) в виде
1 eft (*) дк лт /от
неупр " ZJ 1Г Г:Ш dRh
где
•макс^н.в^
ek (z) = j 8йЖнеупр (Гя.в (z) | е) de. (21)
о
После этого аналитическое решение уравнения переноса (5) найти нетрудно:
оо
Niz, I d<*exV[ - (tm)(R(T) - R0 + z)]X
- ОО
Та ' емакс ^ ^
X exp {- j J deWHe7np(T' |e)x
8 (T')
,(*) v ; 0
-ico-8
x[l-e" (22>
Выражение (22) описывает энергетический спектр частиц в веществе без
учета упругого рассеяния.
* В первом приближении Гн.в (г) ~ Тн,3 (г), где Тя.э (z) - энергия
частиц на глубине ъ в приближении непрерывного замедления:
Го
f dT'
i? [Гн.в (г)]-Rq-*; zsb
j .8 (Г)
БЫСТРЫЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ВЕЩЕСТВЕ 937
На небольших глубинах
* ^ ё^макс/ё" (23)
ширина энергетического спектра сравнима с максимальной энергией, теряемой
частицей в одном столкновении. В этом случае вычислить интеграл (22)
аналитически не удается и необходимо использовать-численное
интегрирование на ЭВМ.
Значение входящего в неравенство (23) среднего квадрата энергии (в
единицах тс2), теряемой частицей на единице пути, при ионизационном
торможении в среде определяется соотношением [6, 17, 19, 43, 44, 48]:
Р (й) = 4jw"ZzV5 (2 (1 + Ef-K (Е). (24)
Коэффициент К (Е) в (24) учитывает эффекты связи электронов в атоме, если
электроны рассматривать как свободные, К (Е) = 1. В области
нерелятивистских энергий частиц пренебрегать эффектами связи, вообще
говоря, нельзя и для вычисления К (Е) необходима проводить
соответствующий квантовомеханический расчет [19, 43, 44, 48].
Используя выражения (9), (15) и (24), неравенство (23) можно переписать в
виде
" Г / те (2+^о)а ^ион *] г? ж<1.4ТП+1;-<25>
Отсюда следует, в частности, что в области нерелятивистских
энергий (Ео ~ 0,1) для мюонов в А1 z < 0,6 R0, в Pb z ^ 0,4
R0, для
протонов в А1 z < 0,07 i?0, в Pb z < 0,05 R0.
В пределе малых потерь энергии
z < #о, (26)
полагая в выражении (22)
Я0_Д(Г)~-Ь-=1, (27)
8 о/
приходим к известному результату Вавилова [42]:
оо
ЛГ(", n-sf- j
- ОО
(r)макс
Xexp jico (T0 - T) - z j deWHeyup(T0 | e) (1 -е-*"(r))} . (28)
о
Распределение (28) для различных приближенных значений И^неупр (То I е)
рассматривалось в [42-44]. В модели свободных электронов спектр (28)
протабулирован в [49].
938 РЕМИЗОВИЧ В. С., РОГОЗКИЦ Дг в., РЯЗАНОВ, fttf
В достаточно толстых слоях вещества,
2 ^ Бмакс/62> (29)
эффективные значения со в (22) невелики, и входящую под знак интеграла
экспоненту ехр (-icoe/s(7T)) можно разложить в ряд, ограничившись
небольшим числом слагаемых. Это дает возможность выполнить обратное
преобразование Фурье в (22) аналитически и представить спектр N (z, Т) в
виде, удобном для практических расчетов.
Если разложить экспоненту с точностью до линейного по со слагаемого,
получим результат модели непрерывного замедления (13). Это приближение
качественно правильно характеризует процесс торможения частиц на больших
глубинах, когда средние потери энергии значительно превосходят флуктуации
потерь [27].
Для того чтобы учесть флуктуации энергетических потерь, необходимо
удержать, как минимум, еще одно слагаемое в разложении ехр (-icoe/e (Г))
в ряд по со. В результате получаем
N (z, Г) = -=---^rr-.-rr- ехр { - lR°~vJrF~} , (30)
V ' ' в(Т)У 2яоа (z) F I 2°2 (*) J
где
то
с2 (z) = \ dz' f {z'] ~ ( dT f(r> (31)
- дисперсия распределения по пробегам. Используя выражения (9) и
(24), для a2 (z) имеем
Е о
о"(*) = (4пМ*Ч)-" J dE (32)
Если пренебречь зависимостью ионизационного логарифма от энергии и
положить К (Е) - 1, то из (32) следует [17]:
а2 (*) = Ry (|);
[l-(l-i)2J/2v, Яв"1,
а*(Ю={
[l-(l-i)"]/3v, ?0"1, (33)
где глубина z измеряется в единицах полного пробега R0 (| = z/R0) и
введен безразмерный параметр v
.. [б (До)]2 р _ m 1 -j~ о г (ЧА\
~ &(Е0) ° гпе (2 + ?0)а И0Н' ( '
который характеризует флуктуации энергетических потерь частиц за счет
вероятностного характера неупругих столкновений [v ~ RJY <(67?о)2); У
((6Д0)2) - среднеквадратичная флуктация
БЫСТРЫЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ В ВЕЩЕСТВЕ 939
пробега]. Чем больше v, тем меньше флуктуации и уже функция распределения
N (z, Т). Приближению непрерывного замедления соответствует предельный
