Физика элементарных частиц и атомного ядра. Том 17 - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для мод с к ^ &RH последними двумя членами в уравнении (124')
можно пренебречь при выполнении двух условий:
1) т? <С k2/R2, т. е. т/Н <С е;
2) X <ф2><&2/Д2.
Условие 2) справедливо всегда, когда можно говорить о мета-стабжльном
состоянии в окрестности ф = 0. Действительно, эффективный квадрат массы
М% - т2 - X <ф2)
должен быть в этом случае положителен, и с учетом условия 1) получим
X <Ф2> < т2 < k2/R2.
При этом, согласно работе [32],
(У ^ ~ 8лапг2 и для величины X получаем ограничение:
а _ 8яа mi 8я2 4
Х<- яг"<-з-(r) •
Заметим, что полученное нами условие 1), т/Н <е<1, несколько жестче, чем
условие, обсуждавшееся Старобинским: т21Н2 <ё<1.
Итак, при выполнении условий 1), 2) моды с к ^ &RH подчиняются уравнению
фк + ЗЯфк+^-фк = 0 (Д = Я-'е*"), (125)
и потому мы можем воспользоваться результатами [41] и положить в
разложении (119), (122)
фк-ф" = -^г(,1+^)в-1'П,
где rj = -1IHR. Но | кц \ = к!HR *= е<1, так что
Фь ~ - i-j=--- при k = eRH. (126)
"у 2
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 871
Подставим в уравнение движения (124) разложение поля <р (х) в импульсном
пространстве (120):
j (2^р>- {дк (фк + ЗЯфк + -р-фк) eikx + h.c.} + wAp -tap3 = 0.
Разбив область интегрирования на две части, получим:
\ (2n)V {дк (фк + ЗЯфк+^фк) eikx+h.c.} +
J (2п)3/* (r) (к -eRH) |ак (фк + ЗЯфк+А_.фк) elkx+ h.c.}-|~
+ лг2ф (х) - Х,ф3 (х) = 0.
Второй из интегралов равен нулю, поскольку при всех к >> eRH справедливо
уравнение (125). В первом интеграле наиболее важен член, содержащий
первую производную. В результате мы получаем, что
j (еЛЯ - *) + Ь-о.}
1 (m^ (х)-Х<р3 (х)). (127)
3 н
Усреднив это уравнение по объему 68, получим с учетом уравнения (123),
что
(r)-<128>
где
/(t) = eRH2 j -j^jr 6 (к-eRH) [акфк + 4ф{],
Фк = Фь= -i а k = eRH.
а фк, в свою очередь, определяется выражением (126):
Н_
Y 2 А3/2
Уравнение (128) фактически является уравнением Ланжевена со случайной
силой / (t). Статистические свойства / (t) характеризуются корреляторами
</ (*)>, </ (^) / (f2)>, </ (^) / (*2) / (*в)> и т.д. Если сила / (?)
описывает гауссов случайный шум, т. е. если выполняются равенства:
</ (*i) • • • / (*п) > = 0, п нечетные,
</ (*i) • • • / (*n)> = 2 П </ (tt) f п чётные.
(г, 3)
<j(ti)f(h)) = 2D6 (tx-fa),
872 ГОНЧАРОВ А. С., ЛИНДЕ А. Д.
то уравнение Ланжевена (128) приводит к обычному уравнению Фоккера -
Планка для функции распределения р (t, Ф):
dt~~dФ V ЗЯ дФ Р]^и 0ф2 * ' '
Найдем первые корреляторы силы / (t), проводя усреднение по вакууму, т.
е. по состоянию | ), удовлетворяющему равенству
ак I > = 0:
</(*)> = о,
</ ("") / (У> = е2Я4Д,Л2 j 8 (*-вД,Я) х
X б (q - eR2H) <akaj> фк (i4) ф^ (*2) =
= e2HlRlR1 j 6 (k-eRtH) 8 (А-ей2Я) <p* (",) Ф? fts) =
- j ТГ 8 (k~*RiH)8 (*- =
82HeRtR2 1 с , D rr D I7\
" (2л)2 ei?!# SieRiH eR2H) -
_ еЯ5Ла 1 я /JL * ч H* & /j. j. \
~ "(top ei?2tf 2 0 (11 " ^ ~ l^T 0(4 -h).
'S'1
Легко также увидеть, что
</ {ti)f{h)f{t3)) = 0,
</(*1)/(Ш(*з)/(*4)> =
ire
= -щг[6 (ii+У в ("а - О + в (*i - *3) в (*,- "*) + б (ti- б (ia- У].
Сила / (?) действительно имеет гауссов характер при сделанном
предположении относительно состояния | >.
Итак, функция распределения р (Ф, t) значений Ф подчиняется уравнению
Фоккера - Планка (129) с D = Н3/8зт2. Для процессов Фоккера - Планка
хорошо известно решение задачи о "времени первого скачка" [40]. В случае,
если в начальный момент времени Ф локализована в окрестности
метастабильной равновесной точки, отделенной от точки истинного
равновесия высоким потенциальным барьером (высоты AF), среднее время, за
которое Ф выходит за барьер, экспоненциально велико [27, 28]:
Д4~ехр[(ж)/°] = ехр[н^]- (130>
Данный результат верен, когда показатель экспоненты велик. В слу-
/ \ о ^Ф4
чае потенциала v (ф) =-^-(р?--------, рассматриваемого нами, это
означает, что должно выполняться неравенство
8я2 т* ,
ЗА, 4Я* ^ А'
что совпадает с требованием 2), рассмотренным ранее.
ТУННЕЛИРОВАНИЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ 873
Выражение (130) в рассматриваемом случае тп <с Н совпадает с результатом
Хоукинга и Мосса [5]. Мы хотим подчеркнуть, что это совпадение имеет
место лишь для случая не полностью однородного туннелирования, которое
кажется однородным в некоторой ограниченной области размером I > Н~х. Как
мы уже отмечали, полностью однородное туннелирование в сценарии
раздувающейся Вселенной не осуществляется. Кроме того, результат Хоукинга
- Мосса (как уже видно из ограничения m, <С Н) справедлив далеко не для
всех потенциалов V (ф). Особенно ясно трудности, связанные с применением
результата Хоукинга - Мосса, проявляются при рассмотрении туннелирования
в потенциале, изображенном на рис. 2 (см. введение). Действительно, весь
"вывод" Хоукинга - Мосса основан на наличии постоянного решения ф = фх
евклидовых уравнений (60), отвечающего максимуму потенциала V (ф). И
поэтому по Хоукингу и Моссу туннелирование идет из минимума ф = О
потенциала V (ф), тоже являющегося решением уравнений (60), как раз в
