Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
k, Prn]=iKn- (4-1)
Квантовый инфинитезимальный L-оператор для этой модели
L(n\X) —
e\p{-ippJ4}
(т A/2)sh(X — грм„/2)
(— т Д/2)sh (>. + ;' fiun/2) ехр{г'р^„/4}
+ 0( А2) (4.2)
не совпадает с классическим, что является следствием ультрафиолетовых расходимостей. Квантовая ^-матрица может быть представлена в виде (3.17):
R(X, ц) =
/ /(ц, X) 0 0 0 '
0 g(n, X) 1 0
0 1 g(n, X) 0
\ 0 0 0 /(ц, Х)1
функции / и g в данном случае выражаются так: sh(n — X — гу) ! —г siny
sh(n—>.)
Ли, Ц-
?(ц, Ц = -
(3.17)
(4.4)
sh(n —>.)
Такую /^-матрицу назовем R-матрицей XXZ модели. Здесь О < у = р2/8 < я.
Матрица монодромии модели СГ удовлетворяет инволюции суТ'(Х')су=Т(Х).
Ниже (см. гл. VII) нам удастся поместить систему па решетку с сохранением свойства полной интегрируемости, т. е. построить точный L-оператор, сплетаемый ^-матрицей (4.4). Это будет наиболее прямым решением проблемы ультрафиолетовых расходимостей.
(4.5)
(4.6)
88
ГЛ. V. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
2. Модель Жибера—Шабата — Михайлова в квантовом варианте задается гамильтонианом (IV.3.11). Перестановочные соотношения операторов поля имеют вид
[и(у), тг(х)] = г5(х-у). (4.7)
Приведем здесь ^-матрицу. Будем использовать следующие обозначения: ф = у/8, Р = А —ц,
.у = ехр{ — Зр + 5/ф} — ехр {Зр —5г'ф}+ехр{ —г'ф} — ехр {г'ф}.
^-матрица является матрицей размерности 9x9; отличные от нуля матричные элементы ее имеют вид:
-ехр{3р — 3г'ф} + ехр{-3р + 3г'ф}+ехр{5/ф}— ехр{ —5/ф} —
— ехр{3г’ф}+ехр { —Зг'ф} — ехр {г'ф} + ехр { — г'ф},
(4.8)
i’i?ii=^i?ii=exp{ —2Р + 5г'ф} —ехр{ —2Р + г'ф} +
+ ехр{Р —г'ф}—ехр{Р —5/ф}, Rll = R\l = h
,у,Язз = .у,Я11=ехр{2р —г'ф}—ехр{2р —5гф} +
+exp{-p+5г'ф}-exp{-p-|-г'ф};
5,#зз = ехр{ —2р+5г'ф}—ехр{ —2р~ Зг'ф}—охр^-и^Ч-
^-охр^—г'ф}+ехр{Р~ Зг'ф} — ехр {Р—5г'ф},
^Л22 = ехр{2р + 3г'ф} — ехр{2р — 5г'ф}+ехр{ — Р + 5г'ф} —
—ехр{ —р + 3г'ф}+ехр{ —р —г'ф} —ехр{ —р + г'ф},
sR\\ — sR\12 = sR\\=sR\1= — ехр{ЗР — Зг'ф}+ехр{ — Зр + Зг'ф} —
—ехр {3 г'ф} +ехр { —Зг'ф},
5i?i3=ji?3i=exp{2p}—ехр{2Р —4г'ф}—ехр{ —Р}+ехр{ —Р —4г'ф},
sR i2 = .s^2i =ехр { —2р + 4г'ф} — ехр { —2Р} —ехр {р + 4г'ф}+ехр {Р},
sR2\=sR\l = —ехр {Зр —г'ф}+ехр { —Зр + г'ф} —ехр {г'ф}+ехр { —г'ф}.
Эта ^-матрица представляет собой нетривиальный пример решения уравнения Янга—Бакстера.
§ 5. Фундаментальные спиновые модели
Другим классом примеров, которые можно решать с помощью КМОЗ, являются спиновые модели [5.28]. С помощью ^-матриц, удовлетворяющих соотношению Янга—Бакстера, можно строить точно решаемые спиновые модели, L-операгоры которых строятся непосредственно из ^-матрицы.
Рассмотрим одномерную пространственную решетку с М узлами; пусть п—номер узла решетки (1<и<М). Построение спиновой модели, связанной с Л-матрицей размерности К1 у. К2, начнем с по-
§ 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СПИНОВЫЕ МОДЕЛИ
89
строения L-оператора. Размерность матрицы Ь{п\Х) есть КхК. Каждый матричный элемент Lap(w|A.)(a, (5=1, ..., К) тоже представляет собой матрицу размерности КхК (квантовый оператор):
LiJp(«|X) = JRi5(X, v) = M?f(X, v) (a, p, i, 5=1, ..., K). (5.1)
Этот L-оператор совпадает с матрицей R (1.9). В (5.1) v — фиксированная точка. Назовем a, Р матричными индексами, а г, j—квантовыми. Индекс п соответствует тому, что квантовые пространства берутся разными в разных узлах. Используя определение
(5.1), можно записать соотношение Янга—Бакстера (2.2) как билинейное соотношение (1.4):
R(X, n)(L(«|A.)<g>L(«|n)) = (L(«|n)<g>L(«|A.)).R(A., ц). (5.2)
Таким образом, по Л-матрице построен L-оператор, который сплетается данной Л-матрицей. Его отличительной чертой является то, что размерность квантового пространства равна размерности матричного пространства. Модели, построенные по таким L-операторам, назовем фундаментальными. Отметим, что соотношение (5.1) можно немного обобщить, умножив Л-матрицу на произвольную комплекснозначную функцию.
Дальнейшее построение спиновой модели проводится по схеме § 1. Строится матрица монодромии Т(Х) и трансферматрица т (X). В данном случае т (А)—это квантовый оператор, действующий в тензорном произведении М различных «квантовых» пространств Ск. Гамильтониан спиновой модели определим с помощью тождеств следов:
# = const(af/afX)lnT(X)|,,=v (5.3)
Здесь выбор точки X = v объясняется тем, что при естественной нормировке R(v, v) = ? гамильтониан описывает взаимодействие ближайших соседей на решетке и легко вычисляется: м
Н= const ? Н„_i,„. (5.4)
Оператор Нп_1п действует нетривиально только в двух соседних узлах:
м \
х| П К‘, • <!-5>
x. = v \ J 1
l.n
Последний множитель соответствует тривиальному действию оператора в узлах решетки с номерами ]фп— 1, п. Множители такого типа в дальнейшем будем опускать. Доказательство этих формул основывается на том, что t(v)—это оператор сдвига на один узел
(при нормировке R(y, v) = E): м
Ж)й= ГК*,-. (М+1 = 1). (5.6)
}=1
Обсудим лаксово представление уравнений движения, порожденных этим гамильтонианом. Такое представление существует. Из общей
90
ГЛ. V. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
формулы (1.15)—(1.16) легко получить явный вид оператора эволюции во времени:
