Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Взаимодействие излучения с веществом
7
и ионов в полуклассическом приближении. Затем мы выделим часть этого гамильтониана, которую будем рассматривать как малое возмущение. Эта часть вызывает переходы между состояниями невозмущенного гамильтониана, соответствующие уничтожению фотона и рождению фонона. Поскольку такие процессы происходят в инфракрасной части электромагнитного спектра, мы называем данное явление инфракрасным поглощением света фононами.
а. Полуклассическая теория излучения для системы электронов и ионов. Предположим, что электроны и ионы в кристалле помещены в электромагнитное поле, заданное четырехмерным векторным потенциалом (А, ф). Мы будем использовать лорен-цеву калибровку и положим скалярный потенциал внешнего поля равным нулю:
'V-A = 0, ф = 0. (2.1)
В этом случае векторы электрического и магнитного поля определяются формулами
M = VXA, 8 = -±М.. (2.2)
Гамильтониан системы электронов и ионов в присутствии поля получается заменой
р-+(р—1д), (2.3)
Р^(Р + Ц-А) (2.4)
для импульса электрона или иона соответственно. В выражениях (2.3), (2.4) векторный потенциал должен быть вычислен в точке х для электрона и в точке X для иона, однако в нескольких последующих формулах мы будем использовать упрощенные обозначения.
При этом полный гамильтониан (т. 1, 112.7) запишется в виде
Ж (*; X; 1) = ? (1 m) (р - j л)‘ + ? (i м) (р + Щ- Л)’ +
<м>
В (2.5) т.—масса электрона, М — масса иона, е — заряд электрона и —Ze — заряд иона; суммирование производится по координатам электронов х и ионов X.
Разлагая квадратичные по импульсу слагаемые в (2.5), по* лучаем
Ж{Р, Х\ р, х; 1) = Ж{Р, Х\ р; х) + Ж(Р, X, р, х\ t). (2.6)
8
Глава 1
Здесь мы использовали обозначение, введенное в (т. 1, 112.6). Пренебрежем теперь членами, квадратичными по векторному потенциалу. С этой точностью получим
м=2 (т »0 »¦'+2 О)р!+2 tSt+2 тт^гт --
<2-7>
В выражении (2.7) в качестве малого возмущения можно выделить члены
«--Е^-р + Еж4-'’- <2-8>
Это обычное приближение классической теории, в которой пре-небрегается членами, пропорциональными А А. Такое приближение, вообще говоря, оправдано для изоляторов (§ 3, п. 6) и неприменимо для металлов и в тех случаях, когда имеется большая плотность свободных носителей.
Рассмотрим теперь векторный потенциал А, описывающий плоскую электромагнитную волну:
А = А0е‘(*'г~ю*\ (2.9)
где А0 — постоянный вектор, определяющий амплитуду. Согласно (2.2), выполняется равенство
k • А0 = 0, (2.10)
означающее поперечность электромагнитной волны.
Запишем (2.8) более подробно:
Ж=~ Z Ш (-ш) (2.11)
/ a
Поскольку векторный потенциал в (2.8) вычисляется в точках, где находятся электроны и ионы, в выражение (2.11) входят координаты как электронов г/, так и ионов Ra.
При обычном рассмотрении взаимодействия излучения с молекулой или другой системой, размеры которой меньше длины волны света, предполагается, что k r та О, т. е. длина волны излучения много больше любого из линейных размеров системы. Однако для формально бесконечного кристалла такое предположение неприменимо. Следуя методу, предложенному Лэксом и Бурстейном [2], предположим, что электроны строго локализованы вблизи положений ионов (или внутри элементарных ячеек). Соответственно координаты Гу заменим на координаты /?а, а индекс электронной переменной / — на ионный индекс а.
Взаимодействие излучения с веществом
9
Тогда гамильтониан возмущения принимает вид
а
В (2.12) электроны и ионы нумеруются одним общим индексом а.
Замена электронной координаты г/, являющейся динамической переменной, на координату иона Ra представляется очень грубым приближением. В момент написания книги эта замена не получила достаточного обоснования на основе строгого рассмотрения. Можно, например, ожидать, что поправки имеют заметную величину даже для изоляторов, если не выполняется предположение о предельной степени локализации (подразумеваемой при замене переменных), т. е. в случае смешанной ионно-ковалентной связи. Это приближение во многом похоже на приближение жестких ионов.
б. Вероятность перехода. Согласно нашей модели, возмущение (2.12) должно приводить к переходам между состояниями невозмущенного гамильтониана M{r,R), определенного в (т. 1,
112.7) (координаты электронов и ионов обозначаем теперь г и R соответственно). Но в этом приближении невозмущенный гамильтониан совпадает с гамильтонианом системы ионов и электронов. В адиабатическом приближении собственные функции определяются выражением (т. 1, 113.24) и имеют вид
Согласно рассмотрению в т. 1, § 113 [см. (т. 1, 113.40)], энергия такого состояния равна
где Ф(0) — собственное значение для электронной задачи при фиксированном расположении ядер, а ?(2) — значение энергии в задаче для ядер. В гармоническом приближении энергия ?(2) равна сумме энергий гармонических осцилляторов [см. (т. 1,
115.8)]. Мы интересуемся только такими переходами, в которых изменяется колебательная часть функции Ч', а электронное состояние остается неизменным. Таким образом, если включить в обозначение собственных функций квантовые числа электронных и колебательных (ядерных) состояний, то в качестве исходного состояния можно взять функцию
