Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, для аффинно подобных течений изменение значения М эквивалентно (по крайней мере в теории1)) изменению «отношения толщин». Следовательно, за исключением обыкновенного моделирования по Маху (35), можно изменять масштабы в двух перпендикулярных направлениях независимо друг от друга, так же как в теории длинных волн.
*) Учитывая § 12, к этой теории нужно относиться несколько критически, Она не рассматривает ударных волн.
p = k^-\- const.
(36)
(М2— 1)<Р„ = <РУУ + <Р„, М = у
(37)
§ 74. Асимптотическое изменение масштаба
149
Моделирование двойных соударений1). Преобразование расстояний и плотности в обратном отношении при сохранении скорости и температуры
Xt -> ах{, t -> at, Щ -+Uit р -> р/а, 6 -> 0
обладает некоторыми необычными свойствами. В совершенном газе (§ 3,14) оно сохраняет неизменным удельную теплоемкость Сг, адиабатическую постоянную -[ и скорость звука в окружающей среде С. Следовательно, оно сохраняет число Маха М = V/C.
Кроме того, это преобразование согласуется и с кинетической теорией газов, если рассматривать только двойные соударения молекул. Следовательно, оно сохраняет неизменными вязкость ц, проводимость х, а среднюю длину свободного пробега молекулы К изменяет в отношении 1 : а. Значит, оно сохраняет также число Рейнольдса Re = VLp/ц, число Прандтля Рг =¦ = Ср|х/х и число Кнудсена k/L. Таким образом, оно пригодно для моделирования сжимаемости, явлений ударных волн, явлений вязкости, повышения температуры вследствие нагрева пограничного слоя и явлений в разреженном газе (большая средняя длина свободного пробега).
Наконец, данное преобразование сохраняет все вторичные процессы химической кинетики, следовательно, оно пригодно для моделирования многих явлений, рассмотренных в § 34, которые не укладываются в рамки механики континуума. С другой стороны, оно имеет то большое преимущество, что позволяет воспроизводить путем моделирования многие аэротермодинамиче-ские явления, протекающие в верхних слоях атмосферы, при испытаниях на моделях небольших размеров вблизи поверхности земли.
§ 74. Асимптотическое изменение масштаба
Аффинное моделирование — как и в теории тонких тел — можно формально рассматривать в рамках анализа размерностей, приписывая разные «размерности» длинам в разных направлениях 2).
Однако гораздо более действенным является метод инспекционного анализа, который показывает, что такой «анализ размерностей» обычно равносилен особой теории возмущений, т. е. асимптотическому инспекционному анализу.
*) Неопубликованная работа автора и Эккермана из AVCO Corp.
*) См. Williams W„ Phil. Mag., 34 (1892), 234—271; Moon P., Spencer D. E., J. Franklin Inst., 248 (1949), 495—522. Часто методы воз* кущений сами не могут быть строго обоснованы.
150
Г л. IV. Моделирование и анализ размерностей
Мы рассмотрели случай линеаризованного моделирования по числу Маха. Сейчас мы приведем несколько примеров при-менения той же идеи.
Быть может, наиболее важным примером служат уравнения пограничного слоя Прандтля для ламинарного течения вблизи гладкой твердой границы (§ 27). Так, стационарное плоское течение в пограничном слое определяется [гл. II (14)] уравнениями
ди , ди , 1 др дги ди . dv п /ооч
l,-dx + vd7 + ji?=''w’ ж +
и краевыми условиями и(*,0) =0, и(*,оо) = их.
Эти уравнения, выведенные в приближении, когда толщина пограничного слоя считается бесконечно малой, инвариантны относительно группы аффинных преобразований вида
х-+$2х, у -*ру, и-> и, (39)
а также относительно группы, определяющей моделирование по числу Рейнольдса.
Другой пример дает теория безвихревых гравитационных волн в мелких водоемах с медленно изменяющейся глубиной Л. В самом грубом приближении средняя скорость частицы ы(х, t) в этих «волнах на мелководье» для двумерного движения [58, разд. 2.2] удовлетворяет уравнению
и„ = Я(Ли),,. (40)
Частный инспекционный анализ показывает, что уравнение (40) инвариантно относительно преобразования
А —> Р- 2Л (41а)
при любом (3 > 0. Так как уравнение (40) однородно и линейно, то оно инвариантно также относительно преобразований
u->Su-j-« при любых 8>0 и е. (416)
Как уже было отмечено в § 15, волны на мелководье можно представить более точно уравнениями политропного течения при 7 = 2. Из сказанного в § 73 следует, что они инвариантны при всех изменениях масштаба вида
х->ах, и —> u, p->kp. (41 в)
В гл. V мы покажем, как с помощью таких групп можно получать в явном виде частные решения краевых задач.
§ 75. А яродинамические трубы
151
Здесь же мы главным образом рассматриваем применения теории моделирования. Ее важным приложением является обоснование изменения вертикального масштаба в гидравлических моделях '). Мы рассмотрим этот вопрос в § 77.
§ 75. Аэродинамические трубы
В настоящее время многие ведущие лаборатории в первую очередь занимаются проведением и истолкованием опытов на моделях. В связи с этим на практике были выработаны некоторые простые положения относительно подобия, вроде описанных в этой главе. Однако первоначально простые идеи были значительно усовершенствованы с развитием этих работ, и мы получили бы весьма искаженное представление о моделировании, если бы не рассмотрели некоторые практические аспекты этой темы. Поэтому в заключение мы дадим краткий исторический обзор развития экспериментальной техники некоторых специальных видов моделирования.
