Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
В книге Биркгофа сделана попытка привлечь к проблеме интегрирования уравнений гидромеханики методы теории групп, «то позволяет обозреть с единой точки зрения свойства раэлич-
Предисловие 11
ных классов частных решений этих уравнений, найденных и изученных ранее разными авторами.
Со времени выхода в свет первого издания проблема применения теории групп к задачам интегрирования дифференциальных уравнений и к установлению влияния геометрической симметрии на природу тензорных функциональных связей рассматривалась в русской литературе в монографии J1. В. Овсянникова') и в работе В. В. Лохина и JI. И. Седова2). В этих работах содержится ряд далеко идущих новых результатов, которые остались незатронутыми в предлагаемой книге.
При переводе ссылки автора на учебную литературу заменены ссылками на соответствующие книги, имеющиеся на русском языке. В конце книги помещен список дополнительной литературы.
JI. И. Седов
') Овсянников Л. В., Групповые свойства дифференциальных уравнений, Изд. АН СССР, Сиб. отд., Новосибирск, 1962.
3) Л охни В. В.. С е д о п Л. И., Нелинейные тензорные функции or нескольких тензорных аргументов, Прикл. лшт. и мех, вып. 3, 1!ЖЗ.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Настоящая книга посвящена преимущественно двум специальным аспектам гидромеханики: сложным логическим соотношениям между теорией и экспериментом и применению понятия симметрии. Вторая тема с математической точки зрения относится к теории групп.
Соотношение между теорией и экспериментом рассматривается в гл. I и II на материале многочисленных «парадоксов», в которых правдоподобные рассуждения приводят к неверным результатам. В гл. III это соотношение изучается более подробно в частном случае струйных течений.
Глава IV посвящена анализу моделирования и его теоретическому обоснованию. Проводится сравнение (или противопоставление!) теории и практики, а также описывается происхождение моделирования из понятия симметрии; таким образом устанавливается связь между теми двумя важными сторонами гидромеханики, которые изучаются в этой книге.
Центральная тема остальной части книги — применение идей теории групп. В гл. V показано, что такие идеи позволяют обосновать значительное количество известных точных решений задач теории сжимаемой и вязкой жидкости. В гл. VI установлено, что, исходя из них, можно получить классическую теорию «присоединенных масс» как частный случай современной геометрической теории «однородных пространств».
Итак, общее распределение материала весьма близко к тому, что было в первом издании. Однако весь материал книги тщательно пересмотрен и во второе издание добавлен ряд интересных новых результатов, полученных за последнее десятилетие.
Глава I ПАРАДОКСЫ НЕВЯЗКОГО ТЕЧЕНИЯ
§ I. Теоретическая гидродинамика
Теоретическая (рациональная) гидродинамика стремится приближенно предсказать движение реальной жидкости путем решения краевых задач для соответствующих систем дифференциальных уравнений в частных производных. При составлении этих уравнений в качестве аксиом принимают законы движения Ньютона. Предполагается также, что рассматриваемая жидкость (обычная жидкость или газ) всюду непрерывна и что на любую часть поверхности действует вполне определенное давление или какое-либо другое внутреннее напряжение (сила, приходящаяся на единицу площади), которое, по крайней мере локально, является дифференцируемой функцией координат, времени и направления. Наконец, устанавливается связь этих напряжений с движением жидкости посредством введения различных параметров, характеризующих данное вещество (плотность, вязкость и т. д.), и функциональных зависимостей (закон адиабатического сжатия и т. п.). Исходя нз таких допущений, математики составили системы дифференциальных уравнений для различных идеализированных жидкостей (несжимаемой невязкой, сжимаемой невязкой, несжимаемой вязкой и т. д.).
Для того чтобы получить вполне определенные, или корректно поставленные1), задачи для таких дифференциальных уравнений, необходимо еще задать соответствующие краевые условия, относящиеся либо к начальному состоянию движения, либо к движению стенок и препятствий, ограничивающих течение жидкости, либо и к тому, и к другому. Теоретическая гидродинамика включает в себя изучение краевых задач, которые получаются в результате сочетания этих краевых условий
') Мы пользуемся ставшей в настоящее время классической терминологией Адамара, согласно которой краевая задача называется корректно поставленной, если она имеет одно и только одно решение, непрерывно зависящее от краевых условий. CM.Hadamard J., Lectures on Cauchy’s problem, Yale Univ. Press, 1923, cm 32.
16
Г л. I. Парадоксы невязкого течения
с дифференциальными уравнениями для идеализированных жидкостей ¦).
Математику легко убедить себя в том, что теоретическая гидродинамика в основном непогрешима. Так, Лагранж2) писал в 1788 г.: «Мы обязаны Эйлеру первыми общими формулами для движения жидкостей... записанными в простой и ясной символике частных производных... Благодаря этому открытию вся механика жидкостей свелась к вопросу анализа, и будь эти уравнения интегрируемыми, можно было бы в любом случае полностью определить движение жидкости под воздействием любых сил...» Многие из величайших математиков, от Ньютона н Эйлера до наших дней, штурмовали задачи теоретической гидродинамики, веря в это. И в их исследованиях, часто вдохновляемых физической интуицией, были введены некоторые из наиболее важных понятий теории уравнений в частных производных: функция Грина, вихревая линия, характеристика, область влияния, ударная волна, собственные функции, устойчивость, «корректность» задачи — таков неполный список.
