Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
скорости звука, которая является функцией удельного объема о. Как показал Адамар, любая плоская волна, только с одной стороны вступающая в жидкую среду (обычную жидкость или газ), в начальный момент находящуюся в состоянии покоя, должна быть простой волной.
Так как и = Jc(a)daja, то формула (20*) дает функциональное соотношение между и и о, а следовательно, и между и и с. Делая снова подстановку в (20*), при р = kpr > 1), легко показать, что более плотные части газа нагоняют менее плотные ([6], стр. 96), причем с постоянной скоростью. Следовательно, в течение конечного промежутка времени неизбежно возникает разрыв плотности или «ударная волна», что находится в самом явном противоречии с гипотезой (Е) из § I.
§ 14. Термодинамика невязких жидкостей
Для того чтобы объяснить явление ударной волны, необходимо привлечь некоторые важные термодинамические понятия '); одних механических концепций для этого недостаточно. Так, например, необходимо рассматривать внутреннюю энергию жидкости Е(р, Т) даже тогда, когда ее можно исключить из окончательных уравнений, как в случае адиабатического течения. Эта величина входит в закон сохранения энергии согласно формуле
dQ — dE-\-pdV. (21)
Здесь pdV есть дифференциал работы при отсутствии внешних сил.
Совершенный газ можно определить посредством уравнений Эйлера, термодинамического уравнения состояния р = pRT, где
|) Превосходное изложение термодинамики сжимаемых жидкостей см. в [10] или Л и п м а н Г. В., Р о ш к о А., Элементы газовой динамики. М., ИЛ, I960, (На русском яз.: Зельдович Я Б., Теория ударных волн и введение в газодинамику, М., изд. АН СССР, 1946; Зауэр Р., Введение в газовую динамику, М., Гостехиздат, 1947. —Прим. перев.)
40
Гл. I. Парадоксы невязкого течения
R— газовая постоянная, и формулы для внутренней энергии ? — = CVT, где Су — еще одна постоянная (удельная теплоемкость при постоянном объеме).
Для изотермического течения Т — const и из соотношения р = рRT следует формула (За) при 7 — 1. В случае адиабатического течения предполагается, что теплота переносится только посредством конвекции (нет ни теплопроводности, ни излучения); при этом имеем dQ = 0 в формуле (21). Для единичной
массы ^так что V = — j имеем тогда pV = RT и Е — CVT = == (Cv/R)pV. Тогда формула (21) дает в результате уравнение
0 = dE+pdV= (CVIR) Vdp + (1 + CVIR)pdV.
Полагая -j = (R + Cv)/Cv, получаем соотношение dplp == = —7dV/V = ^dp/p, из которого следует «политропное» уравнение состояния (За) : р = kp'v.
Совершенную жидкость можно определить посредством уравнений Эйлера и условия несжимаемости V — const (уравнение (36)).
У равней и я Рзн к и н а—Г югонио.
Используя законы сохранения массы, количества движения и энергии, можно также найти соотношение между значениями давления, плотности и температуры ри pi, Тi перед ударной волной и значениями тех же величин р2, рз. Т2 за ударной волной. Например, для совершенного газа эти величины зависят только от одного параметра — отношения давлений Р — ptjpi или интенсивности скачка Р — 1. Тогдг получим ([10]т стр. 30) следующие равенства:
Рг-Р+Р .й: —1п1
р,'— рр+1' Р—^ + 1*
c = ci|1+ir+i^ll]^.
Парадокс обратимости, в силу которого можно было бы поменять местами индексы 1 и 2 в предшествующих формулах и принять Р < 1, можно избежать, если привлечь второе начало термодинамики. (В § 13 принцип, согласно которому более плотные части баротропиых течений нагоняют менее плотные, приводит к такому же заключению. Это следует из неравенства 1 . (R 4- Cy)fCv > 1, которое в свою очередь следует из поло-
жительности величин R и Cv в силу физических соображений.)
Соотношения для косых ударных волн можно легко вывести из соотношений для нормальных скачков уплотнения, используя подвижные оси (§' 67).
§ 15. Буруны и боры
41
§ 15. Буруны и боры
Между длинными безвихревыми гравитационными волнами в жидкости постоянной малой глубины и волнами сжатия в адиабатическом газе при т = 2 существует замечательная аналогия. Длинные гравитационные волны бесконечно малой амп-литуды распространяются с постоянной скоростью с = Yбез изменения своей формы, совсем как при линеаризованном приближении сверхзвукового течения в § 10. Длинные гравитационные волны конечной амплитуды распространяются со скоростью V gh, которая возрастает с увеличением местной высоты волны. Следовательно, гребень всякой длинной волны на мелководье нагоняет впадину так, как это описано в § 13. Наклон фронта волны постепенно становится все круче, пока он не станет вертикальным, и волна, наконец, «обрушивается» под собственной тяжестью.
Рэлей') использовал эту аналогию, чтобы качественно объяснить превращение в «боры» приливных волн при их распространении в устьях рек. Подобные «боры» получаются чаще всего в постепенно сужающихся устьях со ступенчатым дном: относительная высота приливных волн увеличивается вследствие получающейся концентрации всей энергии волны в меньшем поперечном сечении и на меньшей длине волны [равной произведению (12 часов) V §Л].
Нового математического успеха удалось добиться благодаря замечанию Рябушинского (см. прим. 1) на этой стр.), который указал, что формула с = у g(h + у), где у — локальная высота волны, соответствует выбору т = 2 в соотношении (За). Вскоре после этого Джеффри (см. прим. 1) на этой стр.) применил идею, аналогичную идее Рэлея при исследовании разрушения волн на отлогих отмелях. По мере того как волны переходят на мелководье, их скорость уменьшается. Из-за этого энергия волны сосредоточивается на более коротком участке, что еще больше увеличивает высоту волны и ее крутизну. Если отмель достаточно полога, гребень волны снова попадает во впадину, образуя «бурун» прибоя.
