Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(1 + v) (3 — v) л ,
~ - — - Qx In р;
4 nEh
v = - - Qy 1п р (Р = VWTV2)- (27)
Однако при реальных размерах площадки нагружения, которые обычно больше толщины оболочки, тангенциальные перемещения сравнительно невелики. Кроме того, для практики наиболее важными являются, как правило, радиальные перемещения w, поскольку они характеризуют искажение поперечного сечения оболочки.
Ннже приведены формулы для определения w при действии радиальных сосредоточенных сил Q?, когда перемещения w могут быть наиболее значительными.
Цилиндрические оболочки
59
Радиальные перемещения длинной оболочки при действии сосредоточенной радиальной силы. Пусть оболочка со свободно опертыми краями находится под действием одной сосредоточенной радиальной силы Q?, приложенной к середине оболочки. Если длина оболочки 21 ^ 2/?х, где
я = У 3 (1 — v2) »
причем -j— 100, то справедлива приближенная формула [4]
ш=~ш |тг(2>Л~Щ2+11 |S) cosф+
N , ,_____
¦ чЧГ' П ( nV Гр— 1
+х Д----------------i\cos—si—|+
snip];
/ X
здесь X = —g-, а N —целое число, ближайшее к---; за начало коор-К 2.
динат ? и <р принята точка приложения силы Qz.
В формуле (28) слагаемое, содержащее cos ф, выражает прогиб
оболочки как балки.
Наибольшее значение w = w (|, ф) имеет в точке приложения
силы Q2:
шах w = w (0, 0) = Is + 0,802xs) =
"=V- l)2
I \ _____n Vna—1
+ sin n ^-----|g|) e 2K mcosnV|; (28)
4
0,80213(1-v>)]4(i) (29)
6 R*
Радиальные перемещения длинной оболочки при действии двух взаимно уравновешенных радиальных сил. Пусть на оболочку действуют две взаимно уравновешенные снлы Qz в точках с координатами | = 0,
ф=0н| = 0, ф=л. Если > 100 (и 12) и расстояние от точек
приложения сил Qz до ближайшего края оболочки не меньше, чем /?х, то независимо от краевых условий справедлива приближенная формула [4]:
2 Qz ч V1 п ( nVn2 — l
cos---------S---------- Е +
nEh \ 2и
n=2, 4, - - -(„2 — 1)2
jT a __ . \ П К"*—1
+ sin —----------lilje 2и 141 COS лф, (30)
7C
где N — четное число, ближайшее к -у
60
Оболочки под действием локальных нагрузок
Наибольшего значения w = w (5, <р) достигает в точках приложения сил Q2:
2 Qz
N
max w = w (0, 0) — w(0, n) -
nEh
n=2.4.... (n2 — 1) 2
На расстоянии R |||^= Rx от точек приложения сил Qz практически можно считать деформацию затухшей. Характер затухания величины , . „ w (|, 0) с ростом 111 при разных
Ehw(1,в) в-з Qz q R 0
qz w \ значениях показан на рис. 8.
^ j ХЪ Радиальные перемещения
длинной оболочки при действии т взаимно уравновешенных радиальных сил. Пусть оболочка находится под действием т (нС^З) одинаковых радиальных сил Qz, приложенных в равноотстоящих одна от другой точках направляющей окружности |=0, а имен-
0 ID kO ¦50 80 100 Рис. 8
точках (0,0), ^0, (0.2,^).
Если у.
и расстояние от точек приложения сил 0г до ближайшего края оболочки ие меньше, чем Rx, то справедлива приближенная формула [4]
mQz . Ш = гЬ—X'
+ sin
?
, 3m.
nVrf^i
nEh
n=m. 2m, 3m.
2x
• (n2 — 1) 5I)
cos-
nVn2 — 1 ~2y.
6 +
e 2x 161
cos пф,
(32)
где N — ближайшее к -g- целое число, кратное т.
Максимальное значение w = w (|, ф) достигает в точках приложения сил:
max w — w (0, 0) ;
mQz
nEh Х* ^
п=т, 2m, 3m,
Qz
Eh'
(33)
Цилиндрические оболочки
61
Отсюда видно, что максимальное перемещение w изменяется при-
X
мерно обратно пропорционально числу сил т, когда 2 < т -g-.
Условие х > 6/п существенно ограничивает применимость приведенных формул в зависимости от относительной толщины оболочки.
R / х \
Например, при — = 400 f —= 4,28 J эти формулы применимы
с достаточной точностью лишь для т = 3 и т— 4; при -т- =900X
п
X ^ » 6,42^ — для т = 3, 4, 5, 6. Разумеется, для грубой оценки
можно пользоваться приведенными формулами, несколько нарушая условие х ^ 6т, тем более, что при этом, по всей вероятности, будут получаться верхние оцеики.
Если Y. < 6т, то можно считать, что оболочка деформируется, так как при равномерно распределенной вдоль направляющей окружности |=0 радиальной нагрузке с интенсивностью Р —
2$lt\
и тогда
и> = и>(|, ф) = -|^и(с08х! + Б1Пх|б|)е“*1Е1; (34)
max w=w{0, 0) = Уз (! — v'2)(-f-) * W' (35)
Радиальные перемещения оболочки произвольной длины при действии т взаимно уравновешенных радиальных сил. Пуеть на оболочку действуют m (m3* 2) одинаковых радиальных сил Qz, приложенных
2зт
по середине оболочки в точках ? = 0, <р = 0; | = 0, ф = -—¦; . . . ;
т
? = 0, ф = 2п^——, причем 2 m sc Тогда [15, 4]
т о
max w = max wx — v? nLn 3 , (36)
(и3 — 1) 2
где max wx — максимальное перемещение бесконечно длинной оболочки, которое может быть определено по формуле (33) или по формуле (31), если m = 2; N — ближайшее к целое число, кратное т;
Ln — величина, определяемая в зависимости от условий закрепления краев оболочки;
при защемленных краях оболочки
2е ^n(2+sin^.n — cos — е *п)
1 + 2e~*w sin k„ — е~:гкп '
(37)
62
Оболочки под действием локальных нагрузок
, п^л2-1 I
где К„ = —---------• —; 21 — длина оболочки;
х R при свободно опертых краях
, 2е~кп (cos %п + sin Хп + ё~^п) /ооч
