Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
а затем будет течь с постоянной скоростью. При снятии напряжен и и
скорость деформ чнии обратится в нуль, но останется некоторая остаточная
деформация.
Рели же задана постоянная деформа цн я (н ап ример, стер -жепъ растянут и
концы его фиксированы, как в случае болтового соединения), то ~
- const = f". Тогда из выражения (15) следует
t
Oj о ф ^ I On Ее о
т. е. напряжение надает с течением времени (релаксация напряжения).
Схема Максвелла при нелинейной вязкости лежит в основе одной из теорий
ползучести - теории точения (гл. 4). Свойство релаксации напряжений
является наиболее важной механической особенностью среды Максвелла.
Колебания в среде Максвелла также затухают, но декремент затухания будет
одним и тем же для нсех гармоник.
Для получения уравнений среды Максвелла в сложном напряженном состоянии
нужно продифференцировать закон Гука (2) по времени и сложить его правую
часть с правой частью обобщенного закона вязкости Ньютона (6).
Обобщенная линейная среда. Более сложные модели позволяют лучше
приблизиться к механическим свойствам реальных материалов. Эти модели
образуются сочетанием упругих и вязких элементов с различными
коэффициентами упругости и вязкости. Наиболее простая из таких моделей,
содержащая лишь первые производные по времени, показана на рис. 5; она
содержит три параметра ?3, р и называется иногда обобщенной линейной
средой. Закон деформации этой среды можно вывести из законов деформации
простых элементов /, //, ///
г. t it р " dz"'
о - Еув ; о - Ь2в , о = р -
и условии равновесия и неразрывности
о' с"1 - Oi*. о" - Gi_; с' - ет; в' еп = ev
Исключая промежуточные неличины, находим
d?y /, Еу \ u doi
?'?' + i' -d = {' + Tr2h^-t--d- 1161
Т(прия упруго-вязких пи-А
Эта среда объединяет свойства среды Максвелла и упруго-иязкон :рсды
Кельвина При заданной постоянной деформации = const = г" ian ряжение
О, = + ie, -?')p-"irl?,+'",>]. =
г e в среде происходит релаксация, но до напряжения о1по -- Е'ел [рис.
5). При заданном постоянном напряжении о, = const = ол деформация равна
"I = с0
1 1 - - ?Л
F + ~E7e м J-
L ?'
т. е. среда испытывает течение до деформации elce = -g- (см- рис. 5). При
гармоническом изменении напряжения ci - с0 sin со i.
деформация
: е0 sin (wf -I- а).
о" Е (?, + t ц21а2
F.,y i-(lv '
tE " = ?,<?,+?") ' ' °'
т. е. изменения деформации запаздынают (а 0) по Рис. С Трех- отношению к
изменениям напряжения,
элементная Если задан более сложный закон изменения напря-
модель жений но времени, деформация определяется реше-
нием линейного уравнения первого порядка.
Многоэлементные модели. Включение в модель новых упруги \ и вязких
элементов позволяет вводить дополнительные параметры упругости и вязкости
и более полно характеризовать поведение реа.п" ных материалов. Порядок
дифференциального уравнении, описына ющего деформацию среды, зависит от
числа элементов вязкости. Например, поведение модели, показанной на рис-
6, описывается уравнением вида
do, , de, dzEi
с'+а1й = ь1й+с-Ж-
где и, Ь. с - надлежащие значения постоянных. Способ составления
уравнений деформирования сложных элементов состоит в следующем а)
выписывают уравнение деформации каждого л-го (вязкого или упру того)
элемента, вводя напряжения ош, деформацию е1п (или скорость деформации
е.1П) и соответствующую постоянную (Ьп или un); б) состав ляют уравнения
равновесия и неразрывности; в) исключают из получен-
Сложные линейные тела
139
ной системы вспомогательные переменные, оставляй суммарные напряжение п,
н деформацию
Общее уравнение сред подобного типа можно писать в форме
V
7 ак
d i - ft-о
117)
где о*, fcft - постоянные коэффициенты.
Соединяя последонителыю п упруго-вязких элементов (рис. 7) с
коэффициентами ?* и рл, получим среду с теми же общими свойствами, какими
обладает одиночный упруго и? экий элемент (см. рис. 3), но с более
сложной зависимостью процесса Деформации от вр< ц;ни Параллельное
соединение п элементов "Максвелла (рис 8) с коэффициентами Ек, р* ведет
себя подобно одиночному элементу Макеаедла (см. рис. 2), но позволяет
лучше описать релак-
\бг
Рис 7 Модель обобщенной среды Келыинм
сационные свойства реальных тел. Так, в задаче о релаксации, вместо (15)
теперь будет
сх -= е0 ^ Еке
/г-1
тк-
(18)
Можпо перейти к пределу при п~> со, заменяя копстаиты ?>. Тк функцией
распределения Е (Т):
С( - to \ Е(Т)е т dT.
(19)
Наследственная среда Больцмана. Много элементные модели i ро-моздки и н
то же время не охватывают некоторых особенностей деформации реальных тел.
Компактная форма общего линейного закона,
140
Теория упруго-вязких тел
выражающего принцип суперпозиции воздействий и их затухание во времени,
дана уравнением Больцмана
с, (0 =
М')
Е
-f J Q(/ - т) о, (т) dx.
(20)
где Q it - т) - ядро (или коэффициент) ползучести - характерная для
данного материала монотонно убывающая функция; Е - мгновенный модуль
упругости; время отсчитывают от момента первого нагружения.
Более общее уравнение со держит ядро вида Q (t, т), однако зависимость
