Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициент теплообмена К{Р) соответствует следующей функции влияния:
Действительно, подставив значение г в выражение
(6.2.1), получим:
совпадающее с уравнением (2.2.1).
Для упрощения мы считали и течение и температуру стационарными. Теперь сохранив условие стационарности течения, температуру будем считать зависимой от времени. Это означает, что плотность теплового потока Нп(Р', t) может изменяться во времени. Строго говоря, функция влияния в таком случае должна включать в себя время запаздывания из-за конечной скорости конвекции вниз по течению. Однако, как показано в ранее опубликованной работе [JI. 6-2], в ряде практических задач временем запаздывания можно пренебречь. В этих
(6.2.3)
(6-6 а)'МР) = Нп(Р),
(6.2.5)
124
случаях используется функция влияния стационарного состояния и уравнение (6.2.1) принимает вид:
Следующим шагом будет допущение о том, что движение жидкости есть заданная функция времени. При этом адиабатическая температура 0а(Л t) также будет заданной функцией времени. Вследствие этого функция влияния г(Р, Р', t) зависит от времени, и уравнение
(6.2.2) принимает вид:
Это выражение определяет приращение температуры в точке Р в результате единичного притока тепла в точке Р'. Временем запаздывания пренебрегаем. В этом случае функция влияния соответствует квазистациоиарным условиям и является такой же, как при стационарном движении жидкости, характеризующемся мгновенным полем скоростей в момент t. Соотношение (6.2.6) принимает вид:
Допущение о квазистацнонарных условиях применимо во многих задачах конвективного теплообмена.
В задачах, где время запаздывания необходимо учитывать, функция влияния имеет вид r(P, Р' tit i’). Она выражает приращение температуры в точке Р в момент/ вследствие приложения единичного источника тепла в точке Р' в момент V. В последующем анализе будем считать время за счет запаздывания конвекции пренебрежимо малым и определим функцию влияния по уравнению (6.2.7).
Одномерная функция влияния. Понятие функции влияния можно упростить, если считать поле течения двумерным. В данном случае границей твердого тела является цилиндрическая поверхность, а поле течения одинаково во всех плоскостях, перпендикулярных этой поверхности. Обозначим через s длину дуги вдоль линии тока на поверхности, а через у — расстояние вдоль прямых линий, перпендикулярных потоку. Величины s и у можно выбрать в качестве координат точки на поверхности. Тепло поступает в жидкость вдоль прямой, перпен-
А
в-ва = Г(Р, Р\ t).
(6.2.7)
125
дикулярной течению и определяемой координатой s'. Плотность теплового потока равна единице на единицу длины, измеряемой вдоль у. Для стационарного течения разность температур 0—0а в точке s вдоль линии тока выражается в виде
О—0a = r(s, s'). (6.2.9)
Это выражение является одномерной функцией влияния. Следует отметить, что физическая размерность этой функции отличается от соответствующей двумерной функции влияния в уравнении (6.2.2), поскольку выражение (6.2.9) представляет изменение температуры в результате притока тепла на единицу длины на линии, а не в точке.
Если течение изменяется во времени, можно представить конвекцию в виде ряда мгновенных стационарных состояний. Тогда одномерная функция влияния будет:
Q—Qa = r(s, s', t). (6.2.10)
Рассмотрим одномерное распределение теплового потока. Обозначим через Hn(s', t) плотность теплового потока на единицу площади поверхности в точке s' в мо-
мент t. Будем считать эту величину одинаковой во всех точках вдоль прямых линий, перпендикулярных потоку, и, следовательно, не зависящей от у. Тогда изменение температуры жидкости на границе вдоль линии тока выразится в виде
Sr
б — 0a= t)r(s, s’, t)ds’, (6.2.11)
где проводится линейное интегрирование вдоль s'. Это уравнение является одномерным аналогом уравнения (6.2.8).
Во многих задачах, где течение не является строго одномерным, понятие одномерной функции влияния может применяться в качестве приближения. При этом необходимо допустить, что скорость изменения температуры в направлении, перпендикулярном течению, не слишком велика. Тогда можно использовать выражение
(6.2.11), где линейное интегрирование проводится вдоль линии тока.
126
6.3. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ КОНВЕКЦИИ НА ГРАНИЦЕ
Рассмотрим уравнения Лагранжа для теплопроводности в твердом теле
где Q\ — термодинамическая сила, соответствующая температуре 0 на границе твердого тела
~АЛ- <6-3-2)
А
В этих уравнениях компоненты теплового поля #г выражаются в виде
Hi — Hi(qi, qz, • • qn, х, у, z, Q, (6.3.3)
а нормальная составляющая на границе этого поля будет:
Hn = Hn{qu q2, . . ., qn, х, у, z, t). (6.3.4)
Если принять обычное допущение равенства температур жидкости и твердого тела на границе, то можно подставить значение 0 из уравнения (6.2.8) в выражение тепловой силы (6.3.2) и найти
Q' = Qi—Ch (6.3.5)
где
А (6.3.6)
ci=^^(p)Hn(p')r(P, Р\ t)dApdAp,\
A j
Для упрощения обозначим интеграл по поверхности границы Л однократным интегралом. Поэтому мы записали Нп(Р) или просто Нп вместо Нп(Р, t). Уравнения Лагранжа можно записать в виде dV , dD
