Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Умножая обе части этого равенства слева на U(Ф) и справа на U 1 (Ф), получим согласно (1.178) и (1.179)
Таким образом, связь между матрицами ТиГ' оказывается такой же, как и для матриц Р и Р'. Тем самым найден закон изменения матрицы Т при распространении гауссова пучка на расстояние L вдоль оси z. Соотношение (1.181) позволит нам в дальнейшем составлять матричные уравнения для расчета лазерных резонаторов (см. § 1.14).
Рассмотрим теперь прохождение гауссова пучка вида (1.161) через квадратичный корректор. При прохождении пучка (1.161) через квадратичный корректор общего вида в выражении (1.161) возникает дополнительный множитель
при этом вещественные части коэффициентов А, В ж С описывают фазовую коррекцию, т. е. фокусирующее (или дефокусирующее) действие фазового корректора, а мнимые части тех же коэффициентов описывают амплитудную квадратичную коррекцию, т. е. ослабление
T{z') = и{Ф)Р(г')и~1{Ф)
(1.179)
Р' = P(z' = z + L) = (1 - LP)_1P.
(1.180)
Т'=Т = {7(1 - LP^U^UPU-1 =
(z'=z+L)
= (1 - LUPU-^UPU-1 = (1 - ЬТУ'Т. (1.181)
V
100
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
(или усиление) пучка. Таким образом, квадратичный корректор общего вида по оказываемому на пучок действию эквивалентен суммарному действию астигматичной линзы и астигматичной же гауссовой диафрагмы. При этом главные оси линзы и диафрагмы развернуты относительно осей ж, у соответственно на углы
с 1 + 2 В1
*=2 arCtgI^’
1 , 2 В"
^=2 arCtgI^^
Если коэффициенты А, В и С расположить в виде матрицы
К =
А В В С
то нетрудно видеть, что матрица Т гауссова пучка после прохождения через квадратичный корректор преобразуется в матрицу Т' по простому закону
Т' = Т +К =
а Н- A b Н- В
Ь + В с + С
(1.182)
Если квадратичным корректором является сферическое зеркало с радиусом кривизны R при падении на него пучка под углом $, то А = = Rcos'd, В — Rj cos'd и С = 0. Однако, учитывая также изменение координатной системы после отражения (рис. 1.18), необходимо после преобразования (1.182) произвести также изменение знаков недиагональных элементов
Г" = аТ'а, (1.183)
где матрица а имеет вид
а =
1 0
0 -1
Рассмотрим теперь для примера симметричный пучок, у которого zi — z2 — 0 и Ъ\ ф &2- В этом случае параметр /3 (1.172) равен 7г/2 и поворот главных осей определяется соотношениями
tg С
__ (bi + b2)z
tg 2? =
th 2Ф
z2-bib2 ’ tg С
Поле такого пучка описывается выражением G
tg 2rj = — th 2Ф • tg (1.184)
u(x,y,z) = где
S{x,y,z) =
exp
— S(x, у, z) + ikz + iip
y/(z - ibi)(z - ib2)
[(z + ib\ sh2 Ф — ib2 ch2 Ф)ж2 —
(1.185)
(z — ibi)(z — ib2)
— 2(bi — b2) sh Ф ch Фxy + (z — ibi ch2 Ф + ib2 sh2 Ф)y2]
§1.13. Гауссов пучок с двумя системами главных осей
101
Согласно (1.176), радиусы кривизны волнового фронта пучка в сечении с координатой z равны
_____________2 V(*2 + ffi(*2 + b|)_________________
Ra,B —
— [2z cos ? + (bi + b2) sin ?] ± (b\ — b2) \Jsh2 2Ф + sin2 ?
Поперечные размеры пучка в том же сечении определяются соотношением
2 _ 2k^(z2 + b21)(z2 + Ъ\)
Ш а В — ---------------------------------> 0 = .
[2 z sin С, — (bi + b2) cos ?] d= (b\ — b2) y^i2$ + cos2^
Исследуем поведение симметричного пучка (1.185) при предельном переходе Ф —у 0. Естественно, что этот пучок должен переходить при этом в обыкновенный астигматичный гауссов пучок (1.79) без вращения поля. Предельный переход Ф —у 0 не совсем тривиален, но важен, поскольку он позволяет, как мы увидим в § 1.14, выделять физические корни при решении сложных резонаторных уравнений, когда пучок с вращением поля является модой.
Согласно (1.184), поворот осей главных кривизн пучка определяется соотношением
tg2? = ^. (1.186)
При малых | Ф | ось 2 можно разделить на несколько участков с характерным поведением угла ?. В соответствии с (1.186) и первым из соотношений (1.184) условие
(bi + b2)z
< Л2Ф
Z2-b!b2
определяет три области. Две для больших по модулю z:
|г| > (61 + &2) th_1 2Ф (1.187)
и одну для малых по модулю 2:
blb2 th 2Ф < г < th 2Ф.
Ъ1 +Ъ2 Ъ1 + ь2
Имеются также две промежуточные области
-^-|Ш2Ф| < И < (&! + 62)1 th-1 2Ф|.
01 + О 2
Для предельного перехода Ф —у 0 именно последние две промежуточные области наиболее важны, так как в них при Ф —у 0 угол ? также стремится к нулю, а в простом астигматичном пучке он должен быть равен нулю. Так что в этих областях предельный переход происходит естественным образом. Наличие особой области для малых по модулю 2 указывает как будто бы на отсутствие предельного перехода. Действительно, согласно (1.186), поворот осей главных кривизн в
102
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
этой области происходит при любых, даже самых малых Ф, поскольку tg? —> 0, a tg2? —> оо при z —> 0, т. е. угол ? меняется от 0 до 7г/2, у простого же астигматичного пучка такого поворота не должно быть вовсе. Поворот при этом сосредоточен вблизи z — 0 и происходит в тем меньшей области изменения z, чем меньше Ф, т. е. быстро. Парадокс легко разрешается, есть учесть, что знаменатель в Ra,b мал вблизи z — 0, он порядка {Ъ\ — Ь2) вЬ2Ф, и, соответственно, волновой фронт практически плоский, а его астигматизм тем менее выражен, чем меньше 2Ф, поэтому быстрый поворот осей главных кривизн при малых по модулю z реально не заметен.
