Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
N = 1 + /Ы2ДР’ ('1'58')
меньшую единицы. Используя соотношение (1.49) или (1.50), можно найти декремент, обусловленный гауссовой диафрагмой. Разумеется, если диафрагм в резонаторе несколько, то следует взять произведение всех множителей N{.
Существенным отличием гауссовой диафрагмы от простого ослабителя является то, что ее коэффициент ослабления N зависит от поперечного радиуса пучка на входе диафрагмы. Поэтому, подбирая F' так, чтобы потери, вносимые гауссовой диафрагмой, были заметными лишь для высших мод, можно добиться генерации только на основной моде.
§ 1.5. Матричный метод расчета лазерных резонаторов
В предыдущих разделах показано, что трансформация гауссова пучка при его распространении в свободном пространстве и при прохождении через квадратичный фазовый корректор описывается правилом ABCD. Как мы увидим далее, имеется еще несколько оптических элементов, при прохождении которых гауссов пучок остается гауссовым пучком, а изменение его комплексного параметра описывается правилом ABCD. Такие оптические элементы называют
3*
36
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
гауссовыми оптическими элементами или оптическими элементами гауссовой оптики. К ним относится, в частности, отрезок свободного пространства. В данной главе рассматриваются только гауссовы оптические элементы и в дальнейшем это особо не оговаривается.
Правило ABCD широко используется при расчете лазерных резонаторов и составляет основу так называемого матричного метода. Использование этого правила основано на следующем важном его свойстве. Пусть гауссов пучок проходит через некоторый оптический элемент, описываемый матрицей
М=(с D); <159)
тогда его комплексный параметр q преобразуется в соответствии с правилом ABCD
«'=<ieo>
Пусть далее гауссов пучок с параметром q1 проходит через другой оптический элемент, описываемый матрицей
"¦=(ci *)•
и его комплексный параметр q1 также преобразуется в соответствии с правилом ABCD:
«"=(1и)
Упомянутое выше важное свойство правила ABCD заключается в том, что параметр q" может быть выражен через параметр q также в соответствии с правилом ABCD:
//_ A2q + В2
C2q + D2 ’
причем коэффициенты А2, В2, С2 и D2 образуют матрицу
А2 В2
м2 “ 1 с2 d2
являющуюся произведением матриц М и Mi, записанных последовательно справа налево в том же порядке, в каком гауссов пучок проходит оптические элементы, описываемые матрицами М и Mi:
М2 — Mi • м.
В справедливости этого свойства нетрудно убедиться, подставляя
§1.5. Матричный метод расчета лазерных резонаторов
37
(1.60) в (1.61). Действительно,
(AiA + B!C)q + (AiB + B!D) _ A2q + B2 . (CiA + D!C)q + (CiB + DiD) C2q' + D2 ’
отсюда видно, что правило перехода от q к д" соответствует правилу ABCD, причем коэффициенты в этом правиле образованы в соответствии с законом перемножения матриц (строка на столбец).
Из этого свойства правила ABCD следует, что сложная оптическая система, состоящая из многих оптических элементов (и, в частности, лазерный резонатор), может быть описана некоторой одной матрицей М, являющейся произведением матриц отдельных элементов, Mi, М2, ..., Мдг, записанных справа налево в том порядке, в котором гауссов пучок проходит эти элементы:
Произведение матриц зависит от их порядка, поэтому при вычислении (1.62) матрицы нельзя переставлять. Иногда при вычислении произведения (1.62) бывает удобно матрицы ассоциировать, не меняя их порядка, в те или иные группы, например,
— это допустимо.
Итак, если оптическая система описывается матрицей (1.59), то гауссов пучок, имевший на входе системы комплексный параметр q, после прохождения такой системы, т. е. на ее выходе будет иметь параметр q1, определяемый соотношением (1.60).
У оптической системы, образующей лазерный резонатор, вход и выход совпадают. Поэтому комплексный параметр гауссова пучка после его прохода через оптическую систему резонатора должен принять свое исходное значение, т. е. для лазерного резонатора в (1.60) следует положить
Для лазерного резонатора получаем, таким образом, правило ABCD в форме
характерной для замкнутых оптических систем.
Соотношение (1.63) приводит к квадратному уравнению
(1.62)
М = (Мдг • Мдг_1 • Мдг—2) • • • • • (М3М2 • Mi)
q =q.
Cq2 + (D - A)q - В = 0,
(1.64)
разрешая которое, получим
q =
A — D ± у/(А - D)2 + 4ВС 2С
(1.65)
38
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Следует отметить, что лучевые матрицы, описывающие лазерные резонаторы, всегда имеют детерминанты, равные единице:
AD-ВС = 1;
поэтому соотношение (1.65) можно записать также в виде
q=±[(A-D)±W4-(A + D)i]. (1.66)
Далее имеется в виду случай (А + D)2 < 4, который соответствует, как станет ясно позднее, устойчивым резонаторам. В соответствии с соотношениями (1.16), имеем
R — ^ hw2 — (1
R~ А-D’ kW ~ ^-(A + D)*' { Ш)
где R — радиус кривизны волнового фронта гауссова пучка, являющегося основной модой рассматриваемого резонатора, и w — характерный поперечный размер (радиус) того же пучка. Знак модуля во втором из соотношений (1.66) появляется из условия, что мнимая часть коплексного параметра q всегда отрицательна (см. (1.15)). Поэтому при В > 0 следует выбрать тот корень уравнения (1.64), который соответствует верхнему знаку в (1.66), а при В < 0 — нижнему. Второй корень уравнения (1.64) описывает встречный пучок — этот вопрос обсуждается ниже.
