Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим несколько примеров формулировки законов физики в (заданном) гравитационном поле.
В простом случае свободно падающей частицы без спина получим уравнение геодезической (1.3), которое можно переписать в виде
= = о. (1.49)
dx
18 Это уравнение, конечно, сразу получается из условия равенства нулю ускорения в СТО и замены обычной производной на абсолютную (см. (1.30)).
Переписывая уравнения релятивистской гидродинамики в об-щековариантном виде, найдем уравнения релятивистской гидродинамики в присутствии гравитационного поля. Тензор энергии-импульса идеальной жидкости (см., напр., [1—3]) в произвольных координатах примет вид
T^ = (р + р) U»UV + pg*\ (1.50)
р — плотность массы, р — давление, измеряемые в ЛИСО, в которой элемент жидкости с 4-скоростью Vv- покоится. Ковариантная форма закона сохранения
7V;v = 0, (1.51)
умноженного на Uliy дает первое начало термодинамики
(P^v) ;v=-p?/V;v. (1.52)
При проецировании на направление, перпендикулярное Lf14, с помощью оператора проецирования П/ = 6^+LfllLfv из (1.51) получим общерелятивистские уравнения Эйлера
(р + р) UvivUv = — P,vn,v. (1.53)
В этих уравнениях содержится вся информация о влиянии гравитации на движение жидкости. Ниже мы увидим, что в грубом приближении ньютоновские системы тел генерируют гравитационное поле, которое в соответствующих координатах (покрывающих все пространство-время) описывается метрикой, единственными ненулевыми компонентами которой являются goo= = — (1+2Ф), gii =^22=^33= (1—2Ф), где Ф — ньютоновский потенциал тяготения в геометризованных единицах; существенно, что |Ф|<1, поскольку Ф = GMfc2Rf где MhR — типичные масса и размер системы соответственно. Аналогично типичные скорости Vi^l и давление р<Ср. Тогда из (1.51) (или из (1.52), (1.53)) можно вывести классический закон сохранения массы, т. е. уравнение непрерывности
vii (1-54)
и уравнение движения Эйлера
plf = p (-^+viviJ = -Pti-Ptos- (1-55)
Аналогично несложно записать в ОТО уравнения Максвелла:
Ffp=Ja, FlafrVl = ЛаР.ї! (1.56)
где Z7ctp — тензор электромагнитного поля, Ja — 4-вектор тока.
19 До сих пор мы обсуждали, как разные физические системы реагируют на данное гравитационное поле. Остается записать уравнения, которые будут определять, каким образом разные физические системы (вещество, электромагнитные поля и т. п.) создают гравитационное поле, т. е. искривляют пространство-время. В эвристическом выводе таких уравнений исходят из требований, чтобы их форма была инвариантна относительно любого преобразования координат, чтобы они не содержали производных метрики выше второго порядка, да и те должны входить в уравнения линейно, и, разумеется, чтобы они удовлетворяли принципу соответствия, т. е. в пределе слабого поля должны переходить в классические (ньютоновские) уравнения для гравитационного потенциала:
ДФ = 4я,р. (1.57)
Учтем прежде всего, что плотность материи в релятивистском случае входит в тензор энергии-импульса. Поэтому предположим, что уравнение, обобщающее уравнение (1.57), будет иметь вид
Gliv = KTlivf (1.58)
где % — коэффициент пропорциональности, a Gliv — соответствует вышеизложенным требованиям: это некоторый тензор, сконструированный из тензора Римана линейно, так что левая часть (1.58) будет зависеть линейно от вторых производных метрики. Поскольку тензор энергии-импульса удовлетворяет закону сохранения, ему должен удовлетворять и тензор Gvlv. Легко убедиться, что Gliv этим самым определен однозначно (до члена, пропорционального gMV) и является тензором Эйнштейна (1.43), который в силу тождества Бианки удовлетворяет соотношению (1.46), т. е. его ковариантная дивергенция исчезает. (Член типа Agixvf где Л — константа, в ньютоновском пределе не привел бы к уравнению (1.57). Иногда эта константа учитывается в космологии (так называемый космологический Л-член). Однако ее влияние должно быть очень мало, чтобы не приводить к противоречию с астрономическими наблюдениями (А<10-55 м-2). В дальнейшем мы будем полагать A=O.)
Коэффициент пропорциональности к в (1.58) определим из сравнения с теорией Ньютона (принцип соответствия). Предположим, что пространство-время содержит слабое гравитационное поле, создаваемое медленно движущимися источниками (например, тела солнечной системы). Это значит, что должна существовать система координат, в которой метрика этого пространства-времени приближается к метрике Минковского,
gap = Tla? + k^ I Aap I < 1. ( 1 -59)
а скорости источников в этой системе координат малы, т. е. 1^1 = 1(^7^01^1- Даже если точно не известно, каким способом Aa? создается источником, можно предполагать, что вследст-
20 вие медленного движения источников (за время Sx0 источники проходят элемент расстояния ~гя'0л:0<С8х0) производные метрики по времени будут много меньше производных по пространственным координатам:
hat, 0~^<z?, i<ha?, /. ( 1.60)
Из теории Ньютона следует, что скорости не только источников, но и пробных частиц, падающих в гравитационном поле этих источников, будут малыми, если полный ньютоновский гравита дионный потенциал Ф от всех источников (нормированный так что на бесконечности он равен нулю, и обезразмеренный использованием геометризованных единиц) будет везде удовлетворять условию
