Гравитационные волны в ОТО и проблема их обнаружения - Бичак И.
Скачать (прямая ссылка):
Jp (иТ])2 dv = M.
Модовый индекс п перенесен наверх, чтобы не путать его с текущими координатными индексами.
В § 6.4 использовалась матрица uTk = J UfiXk(U) (6.36) в
приближении постоянства плотности массы р; здесь можно отказаться от этого ограничения и, симметризуя подынтегральное выражение, привести (6.46) к форме
= jntiiL, (6.47)
M 2 4 4 M 2 V '
If) = Jp (Ufxi + Ufxi) do, (6.48a)
Ifjt— часть момента инерции детектора, связанная с исследуемой модой U<n>
7fi =Ifi--Х-Ifibijt (6.486)
О
Ifj— соответствующая часть квадрупольного момента п-й моды; переход от /(п) к 7{п) в (6.47) возможен благодаря бесследовости тензора поляризации 1>ец = 0 (обозначения для тензорных факто-
162 ров совпадают с [2]). Схема расчета резонансного сечения поглощения сводилась в § 6.2 и § 6.4 к сравнению двух различных форм записи энергии Eny поглощенной п-й модой. Это сравнение также может быть выполнено в общем виде; имеем из (6.30), (6.47)
oo oo
En = M J f3KS(t)an(t)dt=M Re J f (а>) а'п (a) da =
— oo -oo
_ 1 и?/Єіі\2 - 26со2 Iff(Q)I2
J
4 M J (О)2 — (o^)2+4б20)2
я UffeiiY2 4 M
с IЯ KH2. (6.49)
Вынос R(od) за знак интеграла, как и выше, предполагает постоянство спектральной плотности излучения в пределах резонанса /2-й моды. С другой стороны, имеем из (6.43)
oo oo
En= J 2п((о)Я(со)гісо~4яЯ(соп) j 2П (со) dco = 4яЯ (cort) Aon.
-00 -OO
(6.50)
Два последних выражения (6.49) и (6.50) с помощью (6.44) позволяют выписать искомую универсальную формулу для резонансного сечения п-й моды произвольного детектора
п 4 с* M п V
Таким образом, чтобы получить из (6.51) резонансное сечение конкретного типа детектора, следует вычислить свертку квадрупольного момента выбранной моды с тензором поляризации волны. Для этого необходимо знать вид модовых функций (6.48а, б) и собственные частоты *on, т. е. каждый раз нужно решать задачу о собственных колебаниях детектора со свободной границей. В случае цилиндрического детектора, как было найдено в § 6.4 для фиксированной поляризации |/?+(оз) |
IHfttfl' 8 Mtl ^ln г , о(1_о)
^pIn= --гsin*e0 1 + а:
4M я* П2Ш2
[
Известна также другая форма записи (6.51), предложенная в работах гравитационно-волновой группы Токийского университета [140, 167, 168], а именно
An= ±MvlAffn(9, ф); Affn = 4- (6-52)
vZ
6* 163 Здесь вводятся «эффективная площадь» гравитационного детектора для заданной моды Ап{0) — чисто геометрический фактор с размерностью (м2), зависящий только от формы и размеров детектора, и угловая функция fn(9, <р) — «диаграмма направленности гравитационной антенны». Обе величины могут быть рассчитаны численно по заданной конфигурации детектора и поляризации излучения. При этом удается цспользовать готрвые таблицы колебательных состояний многоатомных молекул, обладающих той же группой симметрии, что и исследуемый детектор [140]. Так, вычисления для основной продольной моды цилиндрического детектора, выполненные авторами [167, 168], дали
Aio)=mii /(0 )=Jlsin20 Зя» V 8
что в пределах расчетной точности не противоречит формуле (6.23).
В следующих разделах мы используем формулу (6.51) для анализа дискового и сферического гравдетекторов.
§ 6.6. ДЕТЕКТОРЫ НА ПОПЕРЕЧНЫХ МОДАХ
Рассмотрим диск (Ro^l)i на который падает гравитационное излучение вдоль оси симметрии. Для детектора цилиндрического типа такая конфигурация соответствует нулевой реакции, поскольку продольные моды практически не возбуждаются плоской волной, несущей метрические возмущения в плоскости, перпендикулярной направлению распространения (возможный слабый эффект для тел конечных размеров пропорционален коэффициенту Пуассона а<С1). Напротив, поперечные моды диска, в которых смещения элементов происходят нормально оси симметрии, будут возбуждаться более эффективно. Дисковый детектор предлагался и использовался в опытах уже на ранней стадии гравитационно-волнового эксперимента [161—163]. Его принципиальным отличием от детектора цилиндрического типа является эффект вырождения мод: одной и той же частоте собственных колебаний отвечают квадрупольные моды, повернутые по углу симметрии относительно друг друга, и монопольная мода, содержащая только радиальные смещения (последняя привлекалась в экспериментах [161 —163] для проверки гипотезы о монопольных гравитационных волнах, предсказываемых некоторыми альтернативными теориями гравитации).
Найдем резонансное сечение поглощения дискового детектора. Модовые функции для поперечных колебаний дисковых резонаторов известны давно [158]. В полярных координатах с центром на оси диска их можно представить в факторизованном виде
R (г, ф) =Rn (г) cos /іф,
(6.53)
Г (г, ф) = Г71 (г) Sin А2ф,
164 R(r> ф)> T(г> ф) - радиальная и тангенциальная (касательная) компоненты смещений, так что и2(r, ср) =#2 (г)+7^(/0; нормировка функций R (г, ф) и Г (г, ф), как обычно, должна быть найдена из условия
і
р l^trt'2 du=M9
W2
откуда, используя (6.53), получим для нормировочного коэффициента интегральное выражение
