Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
возможность появления дополнительных особенностей следует исключить,
поскольку можно строго доказать дисперсионные соотношения для мезон-
нуклонного рассеяния вперед, не прибегая к анализу аналитических свойств
отдельных фейнмановских диаграмм [97, 27]. Ниже мы обсудим это
доказательство, следуя Шиманчику и Боголюбову.
Рассмотрим S-матрицу (16.77) для рассеяния вперед. Выражение (16.77)
записано в виде, в котором редукция выполнена наполовину, и в in- и out-
состояниях оставлены мезонные состояния:
, . , • \ с 1 Г d4x d\
<WlS, out I in> = \ (2я), X
X (Пу + p2) (?* + P2) (PiSi out | T (Ф (у) ф+ (*)) I piSi in) =
= ~ t(2n)l?y2~4l) P., s.), (18.115)
где амплитуда 21? определена в (18.99) и равна
= - у \d*y е+ '""(? у + Р2)2 (ps IТ (Ф (у) Ф+ (0)) | ps).
(18.116)
Поле ф сопоставляется я+-мезону и, действуя на произвольное состояние,
увеличивает заряд на +1. В формуле (18.116) использована трансляционная
инвариантность теории, которая позволяет заменить ф(я) на ф(0), благодаря
чему можно явно вычислить один из четырехмерных интегралов. Выразив Г-
произведение полей через коммутатор:
Г (а (?) Ъ (0)) = 0 (?) а (?) Ь (0) + 0 (- ?) Ь (0) а (?) =
= 0(0 МО, b(0)] + b(0)a(t), (18.117)
приведем все выражение к виду, удобному для исследования его
аналитических свойств:
с1*уе+^У(ау + Р2)2Х
Ш{д, р, s)
(2л)3
X {0 ы (ps I [ф (у), ф+ (0)] | ps) + (ps | ф+ (0) ф (у) I ps)}.
(18.118)
Покажем, что второй член в (18.118) равен нулю в силу стабильности
протона. Действительно, вставив между операторами
§ 134] ВЫВОД ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИИ 273
полей полный набор состояний |п) и выполнив интегрирование по dAy,
получим
^ diye+l''y(ay + р2)2<ps | ф+(0)|п)<л|ф (у) |ps) =
=? (?2-1 (ps 1 ф+ ^1 п)'2(2я)4 64 ^+рп-<18-119) П
Поскольку q0 > 0, не существует такого состояния |л), для которого р = q
+ рп.
Уравнения (18.118) и (18.116) совпадают на массовой поверхности я-мезона,
т. е. при q2 - ц2. Тем не менее аналитические свойства функций,
определенных этими уравнениями, различны, когда мы рассматриваем их
продолжение в комплексную плоскость q0 = со. Запаздывающий коммутатор в
(18.118) имеет причинную форму, которую удобно использовать при выводе
дисперсионных соотношений. Напомним, что при обсуждении дисперсионных
соотношений в классической теории мы использовали тот факт, что
рассеянные волны не могут распространяться со скоростью, большей скорости
света. Причинное условие теперь имеет вид
[ф (у), Ф+ (0)] = 0, у2 < 0. (18.120)
Как мы покажем ниже, условие (18.120) позволяет выполнить аналитическое
продолжение амплитуды.
С этой целью перейдем в систему покоя нуклона, в которой р = (М, 0, 0,
0). Поскольку 2JJ - скалярная амплитуда, то в случае рассеяния вперед она
не зависит от спина s. Поэтому матричный элемент зависит только от \у\2 и
г/о, и в (18.116) можно выполнить интегрирование по угловым переменным.
При этом получаем из (18.118)
оо
= р, s)=\dyyY(со, у), (18.121)
о
где Г (со) определена выражением (18.99) и
00
у)- S Чу"е"На,+ ^ЧЫХ
V (r) И1 -00
х <Ms | [ф (у), ф+ (0)] I Ms). (18.122)
Функция У (со, у) аналитична в верхней полуплоскости со. Точка со = 1ц не
является особой, поскольку функция (l/-\/z) sin л/г зависит не от -у/г, а
от z. Роль ступенчатой функции 0(1/о).как и в случае соотношений Крамерса
- Кронига, сводится к тому,
274
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
что подынтегральное выражение, как функция у0, экспоненциально затухает,
когда со уходит в верхнюю полуплоскость. Действительно, если бы 0 (г/о) в
(18.122) стояла слева от оператора Клейна - Гордона, то интеграл по dyo
вычислялся бы по области положительных значений 0 ^ у0 < оо
оо оо
\ dy0e(y0)=^dy0. (18.123)
- оо О
В действительности же интеграл по dy0 в (18.122) отличается от (18.123)
на некоторое число б-функций и их производных, возникающих в результате
коммутирования 0 (г/о) с оператором Клейна - Гордона; при этом d/dy0 0
(г/о) = б (у0). В результате появляются дополнительные члены, которые,
однако, представляют собой лишь безобидные с-числа, поскольку они
сводятся к коммутаторам полей при равных временах:
[ф(У, 0). Ф+ (0)], [ф(у, 0), Ф+(0)] = - гб3(у). (18.124)
Эти члены приводят к добавлению к Т(ш) в (18.121) функций, растущих не
быстрее, чем полином, поэтому при аналитическом продолжении по "в их
можно просто игнорировать. Далее, условие причинности (18.120)
обеспечивает быстрое убывание функции У (со, у) при св->оо в верхней
полуплоскости. Действительно, экспонента в (18.122) не опасна, если мы
находимся внутри переднего светового конуса у0 ^ у. Выражение
ехр [г (соi/о ± Уш2 - р2 у)] да {ехр [гсо (у0 ± у)]} ехр (+ г у)
(18.125)
для |со|->оо
не приводит к трудностям, если Im со > 0 и г/о ^ у. Хотя второй множитель
для больших у может расти экспоненциально ~ехр(+ц2г//2|со|), его можно
подавить, вводя под знак интеграла множитель е~гУ\ причем после
вычисления интеграла следует положить е = 0.
Учитывая вышесказанное, мы можем вычислить интеграл (18.121) для всех со,
