Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2. Последний член в (17.59) сокращается с кулоновским взаимодействием
(17.60).
Отсюда следует, что при практических вычислениях можно использовать
ковариантный пропагатор
Тем самым гарантируется ковариантность электродинамических амплитуд.
Рис. 17.13. Фермионная линия с п реальными или виртуальными фотонами.
Докажем вначале 12). Рассмотрим фермионную линию, которая соединена с п
фотонными линиями (рис. 17.13). Соответствующая амплитуда равна g(p, р<7ь
а,; ... qn, ап) =
= ^-&п~А-------------4,_, ... Й2ТГ-!-й-• (17.61)
р' - т п рп-1 - т п 1 2 рх - т 1 р - т 4 '
Вставим еще один фотон, реальный или виртуальный с импульсом <7 и
вершиной тогда получим диаграмму, изображенную на рис. 17.14. При этом g
заменяется на gr:
ёг(р, Р , q\ qt, ai) = р + д_т&п рп_] + р_т \ •••
_______________... <2,4-1 pr + g_mQ pr_m ar & i p__m ¦ (17.62)
') В гл. 7 мы уже использовали это обстоятельство (для случая реальных
фотонов) при вычислении поляризационных сумм с помощью фейнманов-ской
техники.
2) Приведенные ниже аргументы неприменимы в случае, когда рассматриваются
радиационные поправки к внешним электронным линиям (см. [140]). В общем
случае неперенормированные S-матричные элементы зависят от калибровки и
становятся градиентно-инвариантными только после умножения 8а зависящую
от калибровки константу Z. (Прим. перев.)
208
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 17
Далее используем тождество
1 л 1 1 1
pr + Q - т 4 рг - т Рг - т Рг + Р - т и перепишем gr в виде ')
Sr (Р, Р',------Ql, dl) - -/ Т" а----йп . . . з г-:- <^г+! ~-¦- &г
...
вг г > ч> чп и р' _|_ д _ т п ^ _ т г+1 рг__ т т
р - m ~ p' + q-m 01,1 * ' ' 1 1 д \ А \ А 1 Pr+1 + Q -m r+lpr + Q - m r
Pr-i "m r-l"'a'p - m'
(17.63)
Суммируя все такие диаграммы, различающиеся местом присоединения фотонной
линии на рис. 17.14, мы видим, что в (17.63)
г г •••• 1' г* ' (tm) • л а • г *'
Р Pi . . . Рр > Рг*? • • . Р'+?
V
Рис. 17.14. Фермионная линия с п фотонами и дополнительной вершиной, в
которой передается импульс <?.
попарно сокращаются все члены, кроме тех двух, в которых фотон <7
присоединяется правее qn и левее q\2):
й (р, р\ q; qu ад = ? gr = у&п уу_~ 4,-1 ...
Г
* 1__________1 А 1 л л 1
1 р-m р' + р - т п рп-i + q - т ап~] 1 р + р - т
= g (р, р'\ <7ь ах\ ...; qn, ап) - g (р + q, р' + q\ qu ай . ..; qn, ап).
(17.64)
Заметим теперь, что внешние концы диаграммы на рис. 17т14 либо
принадлежат свободным частицам, либо замыкаются, об-
¦) Мы предлагаем читателю убедиться в том, что приведенное доказательство
сохраняется и в том случае, когда фермионная линия содержит массовый
контрчлен.
2) В том случае, когда q относится к виртуальной фотонной линии, оба
конца которой присоединяются к одной и той же электронной линии, сумма
диаграмм, отвечающих всем перестановкам обоих концов фотонной линии,
равна умноженной на два сумме диаграмм, отвечающих всем перестановкам
оставшихся п - 2 вершин.
5 122]
ГРАФИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА
209
разуя петлю (см. рис. 17.15). В первом случае S-матричный элемент равен
S со й (р' + q) х
XI lim (p' + Q - tn)g(p,p',q',qi,at){p - m)]u(p) = Q. (17.65)
p2-"m2
ip+q),->m!
Для электронной петли имеем
^ °° \ IMF Sp й°? (Р' Р'> q' qi' а^ =
¦ЩГ Sp do [g (р, р'\ qt, at) - g(p + q, p' + q\ qh at)]. (17.66)
Во втором из интегралов (17.66) сделаем замену переменных, обращаясь с
этим интегралом так, как если бы он был сходящимся. Для обоснования этой
процедуры необходимо, как и при вычислении поляризации вакуума, сначала
регуляризовать подынтегральное выражение, а затем сделать замену
переменных. В результате получим $1 = 0.
Таким образом, утверждение 1 доказано, и при вычислении S-матричных
элементов D? можно заменить на
(17.67)
В координатном пространстве (см.
(14.55)) имеем
. ntr, . , . " , , 'SMvnv
iDp (at)j1V -> -f- igf),vDp (x) 4я | ж | '
(17.68)
Последний член в (17.68) имеет тот же вид, что и кулоновское
взаимодействие в (17.60). Покажем, что на самом деле указанные два члена
в точности сокращаются (утверждение 2).
Для доказательства нужно лишь тщательно пересчитать графики. Гамильтониан
взаимодействия содержит как член с поперечными фотонами
Рис. 17.15. Замкнутая фермион-ная петля, содержащая п фотонных линий.
S НГ (0 dt = e0\ d4y : Ф,п (у) УД1П (у): А"а (у) = е0 J d4y ft (у) Д'/п
(у),
(17.69)
210
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ
1ГЛ. 17
так и мгновенное кулоновское взаимодействие
S н?' d' = ^el\ d'z d'z'b(zl - К) f," (*')
Рассмотрим отдельный член в разложении (17.22), содержащий 2п множителей
Hf и т множителей #/ул. Порядок этого члена есть N = 2ti-\~m. Однако его
статистический вес в формуле Вика равен не [АП]-1 = [(2n + m)!]~х, a
[(2n)!m!]_1, поскольку
Q Я'г dt + J Н*ул dtY =
N1
=ж Е (/_ т). И -"Г" [$ diT¦
т=0
Легко видеть, что статистические множители сокращаются, если
просуммировать все топологически эквивалентные графики. Действительно,
имеется (2п\)т\ тождественных диаграмм, полученных перестановкой
аргументов у* друг с другом и аргументов Zi
/////
