Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из (16.158) следует, что есть лоренцев тензор второго ранга
и не меняется при градиентном преобразовании, которое сопутствует
лоренцеву преобразованию, отвечающему переходу к новой системе отсчета.
Уравнение непрерывности накладывает дальнейшие ограничения на вид тензора
J^iq). Из (16.159) следует, что
P"(0IU*)|n> = 0. (16.161)
Поэтому
= '/'V = 0- (16.162)
5 112] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ ФОТОНОВ 177
Таким образом, 4-дивергенция тензора J^viq) равна нулю. Используя те же
аргументы, с помощью которых мы определим структуру тензора поляризации
вакуума (8.16), получаем
^) = (~^ + ^)/(<72). (16.163)
Для того чтобы связать J (q2) с интересующей нас спектральной функцией
рa(q), достаточно вычислить J^viq) в данной лорен-цевой системе,
используя при этом для потенциалов калибровку излучения. Согласно
определению pif(q) в (16.152) и волновому уравнению (16.141), достаточно
рассмотреть только поперечную часть электромагнитного тока:
4 I <0 I /'/ (0)\п)(п\if (0) | 0) (2 я)3 (Рп -q) =
= to2)2 Qi i (q) = (q2)2 ^n(q)- (16.164)
Последнее равенство в (16.164) следует из (16.154) и формулы х26 (л:) =
0.
Вид тензора яi,(q) можно найти из условия инвариантности при трехмерных
вращениях
nii(q) = bijn(q0, \ q \2) --jjjr л (q0, \ q\2). (16.165)
Поскольку
V./*(*) = 0,
то
и, следовательно,
пц (Ф = (б<7 - Jff) "(?<" I q I2)- (16.166)
Заметим далее, что поперечные части лц(р) и Jfxviq) про-
стым образом связаны между собой. Действительно, рассмотрим в выбранной
системе координат две величины
е;еуя i}(q) и e"evyuv (q),
где
"^ = (0,8), е - q = - = 0. (16.167)
Так как, согласно (16.141),
е0 (0 |/tr (л:) | п) = е0 <0 ! / (л:) | п) - (01 V(j> (х) \ п),
(16.168)
то
8 г (0 I if (0) | "> == е( (0 | j{ (0) | п)
Для любого состояния | п), удовлетворяющего условию
Ь'рп = 0.
178 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА [ГЛ. 16
Интересующие нас матричные элементы удовлетворяют именно этому условию. В
результате, используя (16.158), (16.164) и (16.168), находим искомую
связь между я"у(<7) и J^viq)
е,е,пц (q) = ~ ? (0 | е • /tr (0) | п) (п | е • /tr (0) | 0) (2я)3 64 (q
- рп) =
П
= у ?(0 11в • '(0)1 я>{п 11в • ' (0) 1 0) (2я)3 64 {q ~ Рп) = | г^Г №
П
(16.169)
Сравнив с общим видом /ЙЛ, и рполучим
*</(?) = (б</= (16.170)
Таким образом мы выразили тензор nij(q) через скалярную, градиентно-
инвариантную функцию J(q2)- Подставим далее (16.170) в (16.157), тогда,
используя равенство
J ((f) = J dM2 б (q2 - М2) J (М2) и вводя поперечную функцию Д/у с
произвольной массой М: Д/у(х-х', M2)tr =
Г d*k ( k'ki \
= -г' \ w 0 6 - м) = - W' - еШ {х~х,)).
(16.171)
приходим к компактному виду спектрального представления
D'u (х - x'f = Z3D/y (х - x')tr + J dM2 Д/у (x - x', M2f II (M2),
(16.172)
где
П(М2) = д2^Р-. (16.-173)
В импульсном пространстве фейнмановский пропагатор равен
п' (*" ( *8 I ? шт(М2) V- *
DFtfq) - ^Г+ТГ+J q'-W + ts
Для того чтобы, как в (16.42), выразить константу Z3 через интеграл от
спектральной функции П(М2), достаточно вычислить
§ 1131 СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ 179
производную в (16.171) при t = t' и использовать коммутаторы
(16.142) и определение Юц (х, x')ir, в результате находим
оо
1 = Z3+ J dM2 П (М2). (16.174)
м"
Инвариантность величины Z3 при градиентных и лоренцевых преобразованиях
теперь очевидна. Из (16.169) и (16.170) следует, что весовая функция П
(М2) всюду неотрицательна
еЬ (q2)
0 < е(-е;-яг/ (q) = -- = я (q2).
Поэтому
оо
0<Z3=1- J dM2Yl(M2) < 1. (16.175)
М'
Таким образом, вероятность образования фотона полем А{х) из вакуума
заключена в пределах между нулем и единицей в полном соответствии с
результатами, полученными для бозонных и фермионных полей в отсутствие
электромагнитной связи ').
§ 113. Связь спина со статистикой
Обсудим теперь, используя спектральные представления, полученные в этой
главе, некоторые вопросы, касающиеся связи спина со статистикой [51],
отмеченные ранее в гл. 15. Мы рассмотрим только поля со спином
0 и 1/2. В локальной, лоренц-
инвариантной теории поля, обладающей единственным основным состоянием,
существует теорема, устанавливающая, что поля с целым спином должны
квантоваться как бозе-поля, а поля по-луцелым спином - как ферми-поля,
при условии, что выполнено условие микропричинности. Последнее означает,
что локальные плотности наблюдаемых операторных величин
О S3 J d3x О (X, !)
не интерферируют и поэтому должны коммутировать для пространственно-
подобных интервалов:
[0(х),0{у)] = 0 для (х-у)2< 0. (16.176)
Покажем, что это условие несовместимо с квантованием полей Клейна -
Гордона с антикоммутаторами и дираковских полей с коммутаторами.
') Обсуждение случая Z3 = 0 дано в работе [63].
180 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА [ГЛ. 16
Наблюдаемые в этих теориях, такие как заряд и плотность тока, в общем
случае представляют квадратичные формы полевых амплитуд. С помощью
простых алгебраических выкладок нетрудно убедиться, что (16.176)
справедливо для билинейных форм
0(х) е=ф" (х) ф6 (х)
