Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
некоторой пространственно-временной области; только оно и имеет смысл
физической наблюдаемой. К расходящимся результатам вида (12.46) следует
относится, как к указанию на ограниченность концепции непрерывного поля,
которая представляет идеализацию, описывающую физическую реальность для
больших пространственно-временных интервалов в смысле принципа
соответствия. Задачей эксперимента остается установить, насколько малы
интервалы, для которых требуется количественная модификация теории.
<01фЧ*)]0> = 4Л0>=$ (12.46)
ЗАРЯЖЕННОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
45
§ 74. Заряженное скалярное поле *)
Обсудив квантовую теорию действительного скалярного поля, мы можем
обобщить полученные результаты для описания заряженных частиц, которые
рассматривались в гл. 9. Эти частицы описываются комплексной волновой
функцией
ф W = ~j=r [ф1 (х) + щ2 (*)],
где ф1 и фг - действительные величины. Рассмотрим вначале два одинаковых
невзаимодействующих действительных поля такого вида. Полевые уравнения
(? * + т2) ф! (х) = 0, (П^ + т2) ф2(л:) = 0> (12.47)
получаются из лагранжевой плотности
?> = i YJq>Li?L_m2ф2 + ^Ф1^._т2 А. (12.48) 2 V (Эдгц дх* 1 дХц дх" V
где : ... : означает нормальное произведение, определенное выражениями
(12.24), (12.25). Канонические импульсы, как и
прежде, равны
31] = фь зт2 = ф2, (12.49)
а канонические коммутационные соотношения записываются в виде
[ф* (х), Фi (у)] = ibkjА (х - у). (12.50)
Поскольку гамильтониан равен сумме двух членов типа (12.23),
состояния с фиксированной энергией записываются в виде прямого
произведения собственных векторов гамильтонианов, отвечающих квантам 1
и 2. В отсутствие членов с взаимодействием
число частиц типа 1 и 2 сохраняется по отдельности, поэтому
снова удобно нумеровать состояния собственными значениями операторов
числа частиц
Nt (k) = а+ (k) a, (k), N2(k) - a+(k)a2(k). (12.51)
Как и в (12.30), (12.31), операторы af (k), ai{k) соответственно
рождают и уничтожают кванты типа i с импульсом k и связывают, таким
образом, состояния, различающиеся числами заполнения на ± 1.
Все сказанное до сих пор справедливо для произвольных масс mi и тг в
(12.47). В случае же равенства масс т\ - m2 =
>) См. [15].
46
ПОЛЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА
[ГЛ. 12
= т можно заменить два уравнения (12.47) одним уравнением для комплексной
волновой функции
Ф = (ф! + щ2), ф* = -]= (ф, - гф2), (12.52)
которая также удовлетворяет уравнению Клейна - Гордона
(? + т2) ф = 0, (? + т2) ф* = 0. (12.53)
В терминах комплексных координат ф и ф* плотность лагранжиана приобретает
следующий вид:
д^_т2ф*ф:. (12.54)
дх^ дх"
Канонические импульсы, соответствующие этим координатам, равны
дЗ? . * ф] - /ф2
<Эф ^ л/2
И
* д 3? . ф! + г'ф2
я - ------------------
"Зф* ^ л/2 '
В результате для гамильтоновой плотности получаем
М = яф + я*ф* - 3? = я*я -f- (Уф*) (Уф) -f- т2ф*ф. (12.55)
При этом коммутационные соотношения записываются в виде
1ф (х), Ф (у)] = 0 = [ф* (х), ф* (у)], [ф (*), ф* (у)] = /А (х - у).
(12.56)
При равных временах выражения (12.56) переходят в канонические
коммутаторы
[я (х, t), ф (*', 0] = [я* (*, t), ф* (х', /)] = - гб3 (х - х').
Взяв фурье-преобразование решений, мы получим аналогично (12.7)
"" - S vA? к w +w еП ф'w=S v,g ^ к {к) е""+{к) е~"^
где
а+ (k) = -^= [а, (/г) + ш2 (ft)], а+ (ft) = -J= [а+ (ft) - ia+ (ft)],
1 , (12.58)
а_ (k) = [а, (ft) - ia2 (A)], a± (ft) = щ [o+ (ft) -f ia+ (ft)].
(12.57)
ЗАРЯЖЕННОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
47
Уравнения (12.7) и (12.57) различаются тем, что <р(л:) - теперь
комплексное поле, и, следовательно, при квантовании ему сопоставляется
неэрмитов оператор; согласно (12.58) a+(k) фа^(к).
Коммутаторы для a±(k) легко вычислить, повторяя выкладки, которые привели
нас к (12.10):
[о+ (к), а+ {Щ = [а_ (к), at (к')] = 63 (fe - к'),
[а+ (k), at {k')~\ = [а_ (к), а+ (Л')] = 0, (12.59)
[а± (к), а± (к'Ц = [а+ (к), а+ Ок')] - 0.
Поскольку алгебра операторов a±(k) и a\{k), a^ik) одинакова,
операторы числа частиц, записанные в терминах а+ и а_, должны иметь один
и тот же вид и одинаковые собственные значения. Запишем, возвращаясь к
дискретной нормировке, операторы числа частиц для ± квантов
Nt = a+,fea+,fe, Nk=attka-,k• (12.60)
Тогда
Л,= ХХО*+ + ЛГ*-). (12.61)
к
Мы видим, что существует полная аналогия с теорией эрмитова скалярного
поля (§ 70). Например,
Nt [a+, кФ nt ... rik ...)] = = a+, k{Nt - 1)ф(. • • nt ..., ... пй ...)
=
= К+- nt •••> ••• ч •••]);
при этом, вакуумное состояние с наинизшей энергией не содержит квантов
любого вида, так что
а±,йФо = 0. (12.62)
Операторы а±,к имеют смысл операторов уничтожения '+ и - квантов с
импульсом k, а а+ к представляют соответствующие операторы рождения. При
нормальном упорядочении операторы уничтожения стоят справа от операторов
рождения, как в
(12.60).
Из сказанного ясно, что не существует никакого различия
между описанием полей в терминах эрмитовых амплитуд <pi и
ф2 и описанием посредством комплексно-сопряженных амплитуд Ф, ф*.
Состояния с равным успехом могут характеризоваться числом квантов типа 1
