Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
8 (/
Г +1, *'>*• '-О-20(К-О-1=[ _1( t,<L
Нечетная функция А обращается в нуль вне светового конуса Д (дс' - дс) =
0 для всех (дс' - х)г < Qi
394
ПРИЛОЖЕНИЕ В
на световом конусе Д имеет особенность ЗА(х' - х)
f дМ* - б'(*'-*).
V дхп ) ,
Общее выражение для функции Д таково:
!/0 (m*Jt2 - г2), t > г,
°;________
- J0 (т *Jt2 - г2), t < - г,
где
г = | х' - х |, 1 = х0 - х0
и /о - регулярная функция Бесселя.
Четная функция Д: не обращается в нуль вне светового корпуса, при г > \t
\ она падает экспоненциальным образом:
3 \| (х' - х) х _^0
/ 3Ai (х - х) \
V дх'о )j
х0~х0~ (r)
1 3 (Yo(m - Г'2У \t\>r,
AiC* '4яг дг 1 - - Koim-^r2 - t2), г > | < |,
^ я
где Уо и Ко - цилиндрические функции (см. Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых
функций, М., ИЛ, 1949).
Для электромагнитного поля m 0 и
- D(x' - х)= lim Д (х' - х) - [б (г - t) - б (г + <)],
т-> О 4ЯГ
- D, ("¦-.)- 4 (я ^ + Я-^).
где г == | д/ - х I, t = х'0 - xQ и Р означает главное значение.
Можно рассмотреть также положительно-частотные и отрицательно-частотные
части функций Д и Дi,которым соответствуют два члена в интегралах,
определяющих эти функции:
Д| (х' - х) = Д+ (х' - х) + Д_ (х' - х), its (х' -¦ х) = Д+ (х' - х) - Д_
(х' - х).
Для уравнения Дирака определим
S (х' - х) = - (IV* + m) Д (л/ - х),
Si (х' - х) = - (iV* + m) Ai (дг' - х)
и
2S- (х' - х) = + /S. (х' - х) - е (К - <) S (х' - х).
(В. 2)
Различие в знаках в уравнениях (В.1) и (В.2) есть следствие нашего
соглашения о фазовых множителях, которое приводит к тому, что при
практических вычислениях возникает минимальное число знаков минус.
Функции Af,
ПРИЛОЖЕНИЕ П
395
DP и Sp, связаны с Т-упорядоченными произведениями свободных полей Клей'
на - Гордона, Максвелла и Дирака:
<0 | Г (ф(. (дс') <р; (*)) | 0) = i6tjAp (х' - х), <0 | Т (ф (*') ф* (*))
| 0) = Шр (х' - х),
(0 | Т (Av (х') Ай (,)) | 0) = Ш*/ (дс' - дс)^ =
к=1
= tg^Dp (х' - х) + градиентные члены - кулоновский член
(0 | Т (ф0 (дс') % (дс)) | 0) = iSP (дс' - *).
Ва
Определим еще запаздывающую и опережающую функции Грина:
Aret (•*' - *) = - А (х' - х) 0 (Г - t), Aadv (•*' ~ = + А
(•*' - х) 0 (/ - *')•
Aret равна нулю внутри переднего светового конуса, в то время как Aadv
исчезает внутри заднего светового конуса. Эти функции удовлетворяют
неоднородному волновому уравнению
(?*' + m2) Aadv " *) = А4 * *)•
Sadv (*' -х)=- (Nx, + m) Araed'v (х' - х)
Наконец приведем выражения для различных вакуумных средних свободного
эрмитового бесспинового поля:
<0 | ( ф (дс'), ф (дс)] 0) = гД (дс' - дс),
<0 | (ф (дс'), ф (л;)} | 0) = А, (дс' - х),
(0 | ф (дс') ф (дс) | 0) = Д+ (дс' - дс),
(0 | ф (дс) ф (дс') | 0) = А- (х' - дс),
(0 | Т (ф (дс') ф (дс)) | 0) = itxp (дс' - дс),
<0 | Г (ф (дс') ф (дс)) | 0) = itxp (дс' - дс),
(О | [ф (л/), Ф (дс)] | 0) 0 (/' - /) = - iAret (х' - дс),
(О | [Ф (дс'), Ф (дс)] | 0)0 (*-/') = + iAadv (дс' - дс).
Аналогичные формулы можно выписать для полей Дирака и Максвелла.
sv (*. A,) Sy. (k, Я) =
Аналогично
и
Draed'v (*'-*) = + lim AJ* (*'-*).
tn-? О
ДОПОЛНЕНИЯ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
1. Рассеяние мюона на электроне (к § 27). В § 27 рассмотрена задача о
рассеянии электрона на бесструктурной дираковской частице (тяжелом
электроне). Как там отмечалось, такое рассмотрение неприменимо к протону,
поскольку оно не учитывает его структуру и его аномальный магнитный
момент, связанные с сильными взаимодействиями. Но эта задача буквально
соответствует задаче о рассеянии мюона на электроне, так как мюон в
смысле его электромагнитных свойств действительно отличается от электрона
толькр массой и не подвержен сильным взаимодействиям. Таким образом,
формулы § 27 остаются справедливыми, т. е. описывающими рассеяние мюона
на электроне, если в них заменить еР на е, а под М подразумевать массу
мюона.
Дифференциальное сечение рассеяния определяется формулой (7.42), а
квадрат матричного элемента для случая неполяризуемых частиц - формулой
(7.43). В системе центра инерции выражение для дифференциального сечения
имеет следующий вид:
da =
=---------- -°----тг- Г(е? + р2)2 + (еД + р2 cos2 Ф)2 - 2 (т2 + М2) р2
sin2 -^-1,
(e + ?)2p'sin*-| L 2J
где p - импульс в системе центра инерции,е ='VР2 + т2< & - VР2 + ЛЕ -
энергия электрона и мюона, О - угол рассеяния, do- элемент телесного угла
(все в системе центра инерции).
2. Превращение электронной пары в мюонную пару (к § 32). При-столкновении
электрона и позитрона, кроме упругого рассеяния, может произойти их
аннигиляция с превращением в мюонную пару (положительно и отрицательно
заряженные мюоны). Этот процесс описывается второй диаграммой (рис.
7.12,6), а амплитуда - формулой (7.86), в которой надо опустить первый
член в квадратных скобках, заменить т2 на тМ и считать рх и qi
соответственно импульсами ц-- и ц+-частиц (pi и q\ - по-прежнему импульсы
электрона и позитрона). Из законов сохранения следует, что превращение
возможно при Д ^ М, где Е - энергия электрона (позитрона) в системе
