Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
(х, 0 ^ *) - (?. hl
(28.10)
Уравнение, описывающее преобразованную волновую диаграмму, можно получить путем поочередного преобразования всех векторов, имеющихся на этой диаграмме. Проще всего это сделать, исходя из параметрической формы
1
Х = ~к'
t =
2 (28.11)
и применяя преобразования (28.10). В новых координатах (х,, I1) получаем
. __1__1_
к V^t' 7 (28.12) 28. Теория относительности и волны на воде
231
Обычно кривую легче преобразовать, если она задана в параметрической форме, однако обсуждать ее свойства проще, когда ее уравнение записано в явном виде. В данном случае нетрудно исключить параметр к, что приводит к уравнению
4*1 = UCtl — 2). (28.13)
Теперь волновая диаграмма пересекает ось Z1 в точке
h = 2, (28.14)
что согласуется с расчетами, проделанными на стр. 227. Соответствующая ситуация изображена на рис. 28.6. Второе преобразование заключается в сжатии в два раза оси Z1JB результате точка пересечения волновой диаграммы с осью окажется расположенной на единичной высоте. После выполнения преобразования
0*1, 'i) (^'"2) = 0*2, h) (28.15)
уравнение волновой диаграммы примет вид
і2 = ї2й2-1). (28.16)
Соответствующая кривая показана на рис. 28.7.
Третье преобразование — это сдвиг, иошоляющий сделать волновую диаграмму горизонтальной в точке ее пересечения с осью і2- Вблизи точки X1 = 0 имеем
X2^ih- 1), (28.17)
откуда видно, что для приведения диаграммы к надлежащему виду необходимо произвести сдвиг
(і,, I2) (i2, t,-Xt) = Ь). (28-18>
Новая диаграмма показана рис. 28.8. Чтобы получить уравнение этой кривой, можно сначала переписать (28.16) в параметрической форме
X2 = а(а — 1),
(28.19)
f2 = а,
а затем перейти к координатам (х3, /3), что дает
[Из уравнения (28.7) видно, что /-компонента вектора групповой скорости, соответствующая значению V= 1/2, равна 2 в согласии с (28.14).]
X3 = а(а - 1),
I3 = а( 2-а).
(28.20) 232
Гл. III. Гравитация
Базисные векторы канонической системы отсчета, изображенные в системе отсчета, неподвижной относительно ряби и воды.
Прямой путь
Теперь осталось выполнить последнее преобразование, позволяющее расположить мировую линию воли ряби под углом 45°. Выполняя преобразования, мы не следили за изменениями направления этой линии. Но ее направление легко восстановить, если вспомнить, что мировая линия ряби проходит через начало координат — точку, инвариантную относительно всех наших линейных преобразований, и что она касается в этой точке волновой диаграммы, а касательная при линейных преобразованиях остается касательной. В параметрической форме записи началу координат соответствует значение параметра
а = 0. (28.21)
Тогда уравнение касательной
X3 « -а,
(28.22)
h = 2а
можно получить, разложив (28.20) в ряд по малым а и сохранив только главные члены разложения. Теперь ясно, что мировая линия ряби пойдет под углом 45°, если ось Jf3 растянуть в два раза. Итак, мы приходим к окончательному преобразованию
U3, У (2?, = (f, Tj). (28.23)
Последние координаты нам еще пригодятся. Поэтому мы используем для них более удобные обозначения, чем X4 и /4. Таким образом, после выполнения всех преобразований уравнение волновой диаграммы в параметрической форме принимает вид
?=2а(а-1),
(28.24)
т) = а(2 — а).
Использованный в рассмотренном примере метод последовательных преобразований можно применять при построении канонической волновой диаграммы и в случае, когда наблюдатель движется с произвольной скоростью. Однако вместо того, чтобы приспосабливать этот метод к произвольному наблюдателю, полезнее рассмотреть другой, более короткий способ приведения волновой диаграммы к каноническому виду. Каноническая система отсчета определяется двумя базисными векторами; обозначим их д/д( и д/дт]. В нашей исходной системе отсчета, покоящейся по отношению к воде, эти векторы расположены, как на рис. 28.10. При построении этого рисунка были 28. Теория относительности и волны на воде
233
выполнены все четыре требования, предъявляемые к канонической диаграмме. Вектор д/дт/ по определению представляет собой вектор групповой 4-скорости волнового пакета, сопутствующего наблюдателю. Тогда 4-вектор Э/Э? должен быть параллелен касательной к волновой диаграмме в точке, совпадающей с концом вектора д/дщ. Длина же вектора Э/Э? подбирается так, чтобы мировая линия волн ряби шла под углом 45°.
Опишем теперь все сказанное на точном геометрическом языке. С помощью уравнения (28.7) вектор групповой 4-скорости можно представить в виде следующей функции скорости V.
Выражение для градиента фазы имеет вид 2dB =
(28.25)
IjiIj
-TT-^dx + -dt.
2tr V
(28.26)
Условие параллельности векторов Э/Э?и dd записывается следующим образом:
(28.27)
Как уже говорилось, мировая линия волн ряби должна идти под углом 45°. Следовательно, ей должны быть параллельны как вектор d/dt, так и вектор (д/дщ — д/д?), что выражается соотношением
(28.28)
Компоненты вектора Э/Э? можно найти из соотношений (28.27) и (28.28). Из (28.28) следует, что
