Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
U,?) + (г, w) S (jc + г, у + и>) (1.9)
и умножения на число
к(х, )>) = (кх, ку) (1.10)
удовлетворяют сформулированным выше аксиомам и задают на множестве пар чисел R2 структуру линейного векторного пространства. Для рассматриваемого множества это обычное определение операций сложения и умножения на число. Его легко обобщить на случай произвольного числа измерений.
Пример 2
Следующие правила:
[х, у] + [z, И'] = (1.П)
x(z2 + W2) + z(x2 + у2) у (z2 . (x + zY
W2) + w(x2 + у2)
(у+ W)2 ' (х + zV + (у + W)2
также превращают множество IR2 в линейное векторное пространство. Мы используем квадратные скобки, чтобы подчеркнуть отличие сформулированных выше правил от обычных. Совершенно не очевидно, что эти правила удовлетворяют аксиомам линейного векторного пространства. Действительно, мы
[IR — стандартное обозначение для множества всех действительных чисел. IR2 используется для обозначения декартовой плоскости, т.е. множества всех числовых пар.]
(1.12)
3* 36
Гл. I. Специальная теория относительности
[Понятие линейного векторного пространства является фундаментальным. Чтобы познакомиться с ним ближе, вы доіжньї проверить, что рассмотренные выше пространства действительно удовлетворяют перечисленным аксиомам. Приведите другие примеры. Подробнее изложение теории линейных пространств можно найти в кииге [21].]
должны исключить из IR2 элемент (0,0) и добавить бесконечно удаленную точку. Теперь нулевым вектором является любая пара чисел [а, /], для которой a2 + J- = оо. Все такие пары должны рассматриваться как один и тот же вектор. Точка (0, 0) должна быть исключена из (R21 чтобы правило сложения (1.11) имело смысл. Несмотря на то что второй пример выглядит несколько надуманным, он представляет собой вполне естественный для рассматриваемого множества способ задания структуры линейного векторного пространства. В разд. 15 мы получим другое более удобное представление.
Эти векторы похожи на хорошо знакомые нам 3-векторы, за исключением того, что все они выходят из 'начала системы координат. Такие векторы иногда называют закрепленными (bound) векторами, чтобы отличить их от свободных векторов, которые могут начинаться в любой точке.
Наши пространственно-временные диаграммы должны изображаться в четырехмерном линейном векторном пространстве, которое обычно представляет собой множество упорядоченных четверок чисел со стандартной структурой. Чтобы это линейное векторное пространство было для нас интересным, должно существовать правило, которое связывает определенные в нем математические объекты с объектами реального физического мира. (Связь между математическим и физическим миром достаточно сложна. Отложим обсуждение ее деталей до разд. 4, а здесь просто предположим, что такие связи существуют.) Такого рода взаимоотношения между множествами на-Отображения зываются отображениями. Мы будем использовать слово «отображение» в смысле математического термина. Принятая в математике система обозначений для отображений также очень полезна, и ею следует чаще пользоваться.
Отображение: математическая операция, ставящая в соответствие каждому элементу одного множества некоторый элемент другого множества. В математике предложение «/ отображает элементы множества А на множество В» записывается в следующем сокращенном виде:
f: А В. (1.13)
Кроме того, мы будем использовать «ограниченную» стрелку — либо для обозначения элементов второго множества, либо для 1. Структура пространства-времени
37
задания отображения в явном виде. Так, предложение «элемент множества В, который получается из элемента а множества А при отображении /, будет обозначаться символом Да)» мы записываем так:
f: Л В-, а ь» Да).
(1.14)
Пример
Отображение g, состоящее в удвоении действительных чисел, записывается следующим образом:
g: IR IR; Jt ^ 2х.
(1.15)
Отображение является обобщением понятия функции. При этом функция представляет собой отображение множества действительных чисел в множество действительных чисел.
Вторым по важности после события является понятие сво- Свободные частицы бодной частицы. В физике под свободной частицей понимают тело, размеры которого малы настолько, что ими можно пренебречь, и на которое не действуют никакие силы. Мировые линии таких частиц образуют особый класс среди всех возможных мировых линий в пространстве-времени. Вспомним сформулированный Галилеем закон, согласно которому свободные частицы движутся с постоянной скоростью. На пространствен-но-временной диаграмме движению с постоянной скоростью соответствует прямая мировая линия. Мы включили этот закон в нашу теорию, использовав в качестве модели пространства-времени линейное векторное пространство. Введем следующий постулат.
Постулат свободных частиц: существует отображение событий пространства-времени на пространственно-временную диаграмму, при котором мировые линии свободных частиц изображаются прямыми линиями.
Прямая линия — это математическое понятие, хорошо определенное в линейном векторном пространстве. Под прямой лини- 38
