Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
dx* = cos в sin ф de + sin в cos ф dф, (39.3)
dy* = cos Є cos ф de — sin Є sin ф dq,. (39.4) С помощью этих формул мы ограничиваем метрику
g=dx* + dy2 + dz2 (39.5) и находим метрику на S2:
W= de2+ sin2 в dtf. (39.6)
Поступая точно таким же образом, как н в приведенном выше примере, мы можем ограничить метрику 4-пространства
W = dx2 + dy2 + dz2 + dw2. В результате получаем метрику на S3
% = dx2 + sin2 X dil2,
которая приводилась ранее.
Поскольку примененный нами подход полностью ковариан-тен, мы можем выбирать координаты, наиболее подходящие для решения тех или иных конкретных проблем. Иногда в качестве радиальной координаты вместо х удобно использовать радиус 2-сфер. Такой выбор радиальной координаты, применяемый многими авторами, тесно связан с двойным покрытием представления S3 в виде трехмерного шара. Определим новую радиальную координату посредством соотношения
[Продолжение примера I.]
[Мы продолжаем небрежно обращаться с обозначениями, используя один и тот же символ для if и его ограничения на подпространства. Будучи педантами, мы моглн бы назвать эти ограничения 3<fn 2 4.)
(39.7)
(39.8)
Другие координаты
р = sin х;
(39.9) 326
Гл. IV. Космология
Кривизна пространства
[Отличное рассмотрение 3-сферы содержится в книге [32]. На семи страницах автор описывает путешествие по 3-сфере, дополненное диаграммами с изображением того, что вы увидели бы в таком путешествии.]
тогда
dp = cos X dx, (39.10)
dp2
<*X-j_p2- (39.11)
Метрика Iе в этих координатах выглядит следующим образом:
& = -r?—i + p2dCl2. (39.12)
1 — р?
Заметим, что решение уравнения (39.9) для х в зависимости от р не единственно. Как и в случае диска, каждая тройка координат (р, в, ф), за исключением р = 1, соответствует на S3 двум точкам.
Координаты (х, в, ф) фиксируют собственные расстояния между 2-сферами, на которых изменяются лишь в и ф. Координаты же (р, в, ф) фиксируют собственные размеры этих сфер. В силу того что S3 представляет собой искривленное пространство, невозможно построить такие координаты, которые независимо задавали бы как собственные размеры упомянутых сфер, так и собственные расстояния между ними.
тельного пространства уменьшен в пять раз. 39. Метрическая структура 3-сферы
327
Мы можем описывать рассматриваемую метрическую структуру с помощью представления метрического тензора в касательных пространствах. Однако нарисовать такой трехмерный рисунок было бы сложно. В разрезе, проходящем через Метрические фигуры центр S3, получается S2. Используя введенное выше представление типа двумерного диска, мы изобразили метрическую структуру такой 2-сферой на рис. 39.1. Обратите внимание на то, как раздуваются метрические фигуры по мере приближения к ободу, который на самом деле представляет собой единственную точку. Ясно, что в этой точке происходит что-то странное. Метрические фигуры 3-сферы представляют собой эллипсоиды, которые получаются из изображенных на рис. 39.1 эллипсов посредством вращения вокруг радиального направления.
Если представить себе, что рассматриваемые метрические фигуры соответствуют волновым диаграммам, то поведение Геодезические геодезических можно объяснить с помощью построения Гюйгенса. На рис. 39.2 в представлении S2 типа двумерного диска изображены геодезические с расположенными вдоль них поверхностями постоянной фазы. Указанные геодезические являются большими окружностями.
Рис. 39.2
Геодезические на 2-сфере в представлении двумерного диска. 328 Гл. IV. Космология
О геометрии S3 мы узнаем больше, когда действительно будем пользоваться ею. Обратимся теперь к космологическим моделям, основанным на S3. Соответствующее обсуждение свойств псевдосферы отложим до разд. 44. Геометрия псевдосферы еще более необычна. Нам будет легче заняться ее изучением, когда мы больше привыкнем к свойствам S31 а также приобретем некоторый опыт применения рассмотренных выше симметричных пространств.
ЗАДАЧИ
39.1. (17) Чему равна площадь поверхности большой сферы на S3?
39.2. (16) Рассчитайте ограничение 1-формы
X dx + у2 dy + Z3 d7 на подмногообразие IR3, задаваемое следующим образом: (и,и) I-» (jc,j-,z) = (и,и,и2).
39.3. (16) Покажите, как вычислить размеры эллипсов, изображенных на рис. 39.1.
39.4. (30) Найдите для S2 такую конформную систему координат, метрика в которой имеет вид
&=f(u,v)(du2 + dv2).
39.5. (22) Перерисуйте рис. 39.2 в координатах задачи 39.4.
39.6. (28) Определите и вычислите объем S3.
40. Распространение света
Чем клясть тьму. Лучше зажечь свечу.
Конфуций
Большая часть тех сведений о Вселенной, которыми мы располагаем, получена путем оптических наблюдений1'. Чтобы опи-
'' Поразительные успехи космологии и астрофизики, достигнутые за последние несколько десятилетий, теснейшим образом связаны с освое- 40. Распространение света
329
сывать такие наблюдения, мы должны знать, как распространяется свет в моделях пространства-времени Робертсона — Уокера. Для ответа на этот вопрос достаточно рассмотреть движение в плоскости (/, х) при постоянных в и ф. При указанном условии интересующие нас световые сигналы выходят в радиальном направлении из Северного полюса. Такие световые сигналы в расширяющейся Вселенной испытывают сдвиг частот в красную сторону, что в действительности наблюдается в современной Вселенной. Вследствие однородности и изотропии Вселенных Робертсона —Уокера все световые сигналы эквивалентны, но радиальные сигналы распространяются вдоль одной из осей нашей системы координат, что облегчает их описание.
