Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
j'kuvpat _gl.iJu j’vpot gXv'fV-pax _|_ghp J’Hvot gkaj’fj.vрт _|_ gt.xj4J.vpa
(22,'ll)
Отметим, что все следы T>IX • вещественны и что они отличны от нуля, лишь если каждая из матриц v°, 71, ... встречается в произведении четное число раз; то и другое очевидно из полученных формул. Отсюда, в свою очередь, легко заключить, что след не меняется при изменении порядка всех множителей на обратный
Т'Ьц.. ро==7'ар...ц\ (22,12)
Как уже упоминалось, множители у фигурируют обычно в виде скалярных произведений с различными 4-векторами. В таких случаях, например, формулы (22,9) и (22,10) означают, что
4SP (ay)(by)=ab,
. (22,13)
т Sp (ay) (by) (су) (dy) = (ab) (cd) ~ (ac) (bd) + (ad) (be).
Особую роль играет произведение у°у1у2у3. Для него принято специальное обозначение:
yl = — iy 0yiy2y\ (22,14)
Легко видеть, что
ybyV-^-yVyb =о, (^5)2—^ (22,15)
т. е. матрица уъ антикоммутативна со всеми По отношению Же к матрицам а и (5 имеют место правила
ауь—-у5а = о, Py6- + y6P = 0 (22,16)
108 ’ ФЬРМЙОНЫ [Гл. III
(коммутативность с а следует из того, что а —y°Y есть произведение двух матриц 7м").
Матрица у6 эрмитова; действительно,
у5+ = i'y3+ya+y1+у°+ = — tYa7*71Y°,
и поскольку последовательность 3210 сводится к последовательности 0123 четным числом перестановок, то
^5+ _ у5 (22,17)
Укажем также вид этой матрицы в двух конкретных представлениях:
спинорное у6=
стандартное уъ =
След матрицы Y5 равен нулю:
Sp у5 = 0 (22,19)
(это видно и прямо из (22,18)). Равны нулю также и следы произведений y5Y,1Yv- Для произведений же y5 на четыре множителя имеем
YSp y5y*7,1YvYp = iex^vp. (22,20)
Отметим еще формулу:
yN =t'Y5 (уа) (yb) (ус), N>- = eillvpallbvcp, (22,21)
справедливую для взаимно перпендикулярных 4-векторов а, Ь, с:
ab = ac = bc = 0.
В некоторых случаях (в задачах, в которых фигурируют нерелятивистские часгицы) может возникнуть необходимость в вычислении следов произведений, в которые входят раздельно Y0 и трехмерный «вектор» Y- Отличны от нуля лишь следы произведений с четным числом множителей y° и V- При этом все множители y° сводится к 1, а следы произведений с двумя и четырьмя множителями v даются формулами
Т Sp (»Y) (bY) = — ab,
(22,22)
~ Sp (av) (bv) (c?) (dy) =* (ab) (cd) — (ac) (bd) + (ad) (be).
§ 23. Плоские волны
Состояние свободной частицы с определенными значениями импульса и энергии описывается плоской волной, которую представим в виде
Ъ = у%и/!~‘рх’ (23,1)
-1 о 0 1 0 -1 -1 о
(22,18)
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
109
Индекс р указывает значение 4-импульса; амплитуда волны ир— определенным образом нормированный биспинор.
При дальнейшем проведении вторичного квантования нам понадобятся, наряду с волновыми функциями (23,1), также и функции с «отрицательной частотой», возникающие в релятивистской теории, как было объяснено в § 11, в связи с двузначностью корня ± Vр2-\-т2. Как и в § 11, мы будем везде понимать под е положительную величину е = +УГр2 + ^г2> так что «отрицательная частота» есть — е; изменив также знак р, мы получим функцию, которую естественно обозначить как
У-р = уШи-ре1’рх- (23>2)
Смысл этих функций выяснится в § 26. Ниже мы будем параллельно выписывать формулы для оря и г|з_я.
Компоненты биспинорных амплитуд ир и м_я удовлетворяют системам алгебраических уравнений
(ур—т)ир = 0, (ур + т)и-р = 0, (23,3)
получающимся подстановкой (23, 1—2) в уравнение Дирака (что сводится к замене в последнем оператора р на ip)1). Соотношение р2 = т2 является при этом условием совместности каждой из этих систем. Мы будем всегда нормировать биспинорные амплитуды инвариантными условиями
ирир = 2т, U-.pU-p = —2m (23,4)
(где черта над буквой обозначает, как везде, дираковское сопряжение: и~и*у°). Умножив уравнения (23,3) слева на м±р, получим (и±руи±р) р — 2т} — 2р2, откуда видно, что
ируир = и.руи.р = 2р. (23,5)
Отметим, что переход от формул для ир к формулам для и.р производится путем изменения знака т.
4-вектор плотности тока:
j = ^ и±руи±р — (23,6)
т. е. />*==(1, v), где v=p/e—скорость частицы. Отсюда видно,
что функции нормированы «на одну частицу в объеме V = 1».
В силу уравнений (23,3) компоненты амплитуды волны связаны друг с другом некоторыми соотношениями, конкретный вид
х) Отметим также аналогичные системы, получающиеся из уравнения Ди-Рака (21,9) для комплексно-сопряженной функции:
ир(ур—т)=0, ы_/1('ур4-т)=0. (23,3а)
110
ФЕРМИОНЫ
[Гл. III
которых зависит, конечно, от конкретного представления ф. Найдем их для стандартного представления.
Из уравнений (21,19) имеем для плоской волны
(е—т)ф — рстх = 0, (е + т)%—рстф = 0. (23,7)
Из этих равенств находим соотношение между ф и % в двух эквивалентных видах:
4 = * = ^ <23-8>
(эквивалентность этих формул очевидна: умножив первую из них слева на ро/(в + т) и учитывая, что (ро)2 = р2 и е2—т2 = р2, получим вторую). Общий же множитель в ф и % выбираем таким образом, чтобы удовлетворить условию нормировки (23,4). В результате получим для ир (и аналогичным образом для и~р) следующие выражения:
VI±^W V Ц_р=^Е^(па)и,Л (23,9)
Yе—m(na)wj р mw' )
