Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы иметь инвариантный характер, всякое спи-норное равенство должно содержать с обеих сторон одинаковое число непунктирных и пунктирных индексов; в противном случае оно заведомо нарушится при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом надо помнить, что комплексное сопряжение подразумевает замену пунктирных индексов непунктирными и наоборот. Поэтому имеет инвариантный характер соотношение т)®!3 = (?а|3)* между двумя спинорами.
Свертывание спиноров или их произведений может производиться лишь по парам индексов одинакового рода—двум пунктирным или двум непунктирным. Суммирование же по паре индексов различного рода — не инвариантная операция. Поэтому из спинора
симметричного по всем k непунктирным и по всем I пунктирным индексам, нельзя образовать спинор более низкого ранга (на-Ломним, что упрощение по паре индексов, относительно которых
т,- ==п2, Л j — Л1 •
(17,9)
(17,10)
88
ФЕРМИОНЫ
1Гл. III
спинор симметричен, дает в результате нуль). Это значит, что из величин (17,10) нельзя составить меньшего числа каких-либо их линейных комбинаций, которые бы преобразовывались друг через друга при всех преобразованиях группы. Другими словами, симметричные 4-спиноры реализуют неприводимые представления собственной группы Лоренца. Каждое неприводимое представление задается парой чисел (k, I).
Поскольку каждый спинорный индекс пробегает два значения, то имеется &+1 существенно различных наборов чисел ага2.. .аАв (17,10) (содержащих 0, 1,2,..., k единиц и k, k—1, ..., 0 двоек) и / + 1 наборов чисел PiP2 ... Рг. Всего, следовательно, симметричный спинор ранга (k, Г) имеет (&+1)(/+1) независимых компонент; это и есть размерность осуществляемого им неприводимого представления.
§18. Связь спиноров с 4-векторами
Спинор с одним пунктирным и одним непунктирным индексом имеет 2 -2 = 4 независимые компоненты—как раз столько, сколько имеет компонент 4-вектор. Ясно поэтому, что тот и другой реализуют одно и то же неприводимое представление собственной группы Лоренца, и между их компонентами должно иметься определенное соответствие.
Для установления этого соответствия обратимся прежде всего к аналогичному соответствию в трехмерном случае, учитывая, что по отношению к чисто пространственным вращениям поведение 3- и 4-спиноров должно быть одинаковым.
Для трехмерного спинора имеют место формулы соответствия (см. III, § 57), которые мы запишем здесь в виде
ах = \ №2 — ^п) = j + ^2),
ау =- 7 = Т ^ *
az = 4 (^ia + ^2i)=т ^ — ^ *
где ах, ау, аг — компоненты некоторого трехмерного вектора а. Переходя к четырехмерному случаю, надо заменить компоненты на ?“Р, а под ах, ау, az понимать контравариантные компоненты а1, аг, а3 4-ве^тора. Что же касается выражения для четвертой компоненты вектора, а0, то его вид заранее очевиден из отмеченного в § 17 обстоятельства: величина (17,6) должна преобразовываться как а0. Поэтому «° ~ ?п + ?22; коэффициент пропорциональности определяется так, чтобы скаляр ?ар?“р совпадал со скаляром 2ацац^2а%.
S 18]
СВЯЗЬ СПИНОРОВ С 4-ВЕКТОРАМИ
89
Таким образом, мы приходим к следующим формулам соответствия:
Последнее равенство следует из того, что спинор второго ранга ?аантисимметричен по индексам ау и потому пропорционален метрическому спинору.
Соответствие между спинором и 4-вектором является частным случаем общего правила: всякий симметричный спинор ранга (к, к) эквивалентен симметричному неприводимому (т. е. обращающемуся в нуль при упрощении по любой паре индексов) 4-тензору ранга k.
Связь между спинором и 4-вектором можно записать в компактном виде с помощью двухрядных матриц Паули1):
Если обозначить символически посредством ? матрицу величин
(во втором члене подразумевается, конечно, произведение а0 на единичную матрицу). Обратные формулы:
С помощью формул (18,6—7) можно установить связь между законами преобразования 4-вектора и спинора, и тем самым выразить закон преобразования спинора через параметры поворотов 4-системы координат.
*) Для упрощения обозначений операторы (матрицы), действующие на спиновые переменные, будем обозначать буквами без шляпок.
a1 = Y(^+?2i)’ а2 = у(?12-?21').
(18,1)
Обратные формулы:
= U = а3 + а\ U = а» - а3,
?*= - U = а1 ~ <а2. V1 = - U = а1 + ia*.
При этом
(18,2)
(18,3)
Отметим также, что
(18,4)
(18,5)
?а[3 с верхними индексами (причем первый —непунктирный), то
формулы (18,2) записываются в виде
? = ао + а0
(18,6)
a = ySp(?a), a° = ySp?.
(18,7)
90 ФЕРМИОНЫ [Гл. III
Запишем преобразование спинора в виде
Е“' = (ЯЕ)“, в = (“ J) (18,8)
где В—двухрядная матрица, составленная из коэффициентов бинарного преобразования. Тогда преобразование пунктирного спинора:
rf' = (B*T1)P = (T]B+)i\ (18,9)
а преобразование спинора второго ранга ?“т]р запишем символически как ?' = Bt,B+ х). При бесконечно малом преобразовании Б = 1+ Я, где X — малая матрица, и с точностью до малых величин первого порядка
?' = ? + (^ + ^+)- (18,10)
Рассмотрим сначала преобразование Лоренца к системе отсчета, движущейся с бесконечно малой скоростью 6V (без изменения направления пространственных осей). При этом 4-вектор ац'=(а0, а) преобразуется согласно
