Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
На примере вычисления массового оператора продемонстрируем метод прямой регуляризации интегралов Фейнмана.
В первом неисчезающем приближении массовый оператор представляется петлей в диаграмме
р-к
к
Ей отвечает интеграл
Ы1 (р) = (— ief j yuG (p —k) yvD-,v (k)
(2л)
i >
подставив пропагаторы и сведя вместе множители с по-
мощью формул (22,6), получим
•* W—(ёр о J 10,-^1^-х.) ОВД
(чертой над буквой aft мы отмечаем нерегуляризованное значение интеграла). В фотонный пропагатор введена фиктивная «масса фотона» Я с целью устранения (как и в § 117) инфракрасной расходимости.
Преобразуем интеграл с помощью формулы (131,4), понимая в ней под flj и аг два множителя в знаменателе (119,2). После простой перегруппировки членов в знаменателе нового интеграла получим
•*w=- *• I d‘*5dx т-Л-%' (119'3)
О
где
a2 = mV-(p2 — т2)х(\ — х) + Г(1-х). (119,4)
Замена переменной k k-{- рх приводит подынтегральное выражение в (119,3) к виду, в котором его знаменатель зависит только от квадрата к2. При этом, однако, согласно (131,17—18) к интегралу добавится аддитивная постоянная:
**1w¦=-е‘ (Sw] О19.5>
I о )
(член с ^ в числителе теперь опущен, как обращающийся в нуль при интегрировании по направлениям 4-вектора к, — ср. (131,8)).
Регуляризация этого интеграла заключается в таких вычитаниях, которые привели бы его к выражению вида (110,20). Пос-
574
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
леднее обращается в нуль при умножении на волновую амплитуду и(р), если р — 4-импульс реального электрона. Не вводя и (р) явно, можно сформулировать это условие как требование обращения <Jl(p) в нуль при замене
пг
(119,6)
Форма интеграла (119,5) удобна при этом тем, что 4-вектор р входит в него только в виде ур и р2 (а члены вида kp отсутствуют) .
Вычтя из (119,5) такое же выражение с заменой (119,6), получим
—8m f
dlk f dx ¦ [2 т — ур( 1 — х)~\
(А*-а*)2 (А*-а*)*
-I
d.Ak \ dx
щ(ур-т)-
(УР ¦
А
т)|.
(П9,7)
где
а\ = т2х2 + X2 (1 — х).
Для окончательной регуляризации, однако, должно быть произведено еще одно вычитание: согласно (110,20) при замене
(119,6) должно обратиться в нуль не только aS (р) в целом, но и оно же без одного множителя ур — т. Соответствующим вычитанием целиком отбрасываются второй и третий члены в фигурных скобках в (119,7)х). Первый же интеграл предварительно преобразуем, введя еще одно вспомогательное интегрирование с помощью формулы (131,5), положив в ней п~2 и понимая под а и b соответственно к?— а2 и k2 — a20. Тогда выражение (119,7) принимает вид
т\16л' -а Г J4/, Г Г л, (ЧР+т) [2т — ур(1—х)]х(1—х)
(УР ~т)щре )d kyx^dz х {1^х) г?
(здесь использовано также тождество р2 — т2-=(ур— т) (ур -\-т)). Сразу же произведем интегрирование по d^k. Предполагая, что
х) Тем самым мы в процессе «перенормировки на ходу» (см. стр. 538) опускаем поправки к перенормировочной константе Zг (§ ПО). Соответствующие интегралы логарифмически расходятся. Если ввести «параметр обрезания»
А2^>т2, р2, ограничив область интегрирования по условием k2^A2
эту поправку можно вычислить в зультату
2<i) =
явном виде. Вычисление приводит к
, то ре-
г1=1 + 2<1>,
и 2 л
-21п
Л2
т2'
, I
1П —.; + ¦
т-
(П9,7а)
§ 119] ВЫЧИСЛЕНИЕ МАССОВОГО ОПЕРАТОРА 575
р2 —/п2< 0, и воспользовавшись (131,14), получим
• Г dz (ур + т) 12т —ур (1 —¦*)] X (1 — х) _
т2л:'2 +Vz (1 —x)-\-\jn- — р'1) х (1 — .г) г
о о
Теперь остается, опустив временно множитель (ур — т), вычесть такой же интеграл с заменой (119,6); после простых приведений получим
2х (1 -f х) z‘l
х2-\-(к/т)2
f! 1 р т (1 х~) (ур in) (1 .y)
(р) = (ур - ту - j dx j dz-----_
о о
(119,8)
(в общем знаменателе опущен член с Я2, так как это не приведет здесь к расходимости; в другом месте %2(\— х) заменено на Я2, так как инфракрасной расходимости будет отвечать расходимость при *—>()).
Интегрирование в (119,8) (сначала по dz, затем по dx) довольно длинно, но элементарно и приводит к следующему окончательному результату;
**<"> ~Ш<w-т>‘{гтпг^ (1 р)~
— p+q^lnp) + l+21n|]}, (119,9)
УР + т
тр
2(1-
где обозначено
(R. Karplus, N. М. К foil, 1950). Интеграл вычислен в предположении р > 0, причем р ^>к/т. В соответствии с правилом обхода полюсов, при аналитическом продолжении выражения (119,9) в область р < 0 фаза логарифма определяется заменой m->-ni — Ю; при этом р—*р —10, так что In р при р<0 надо понимать как
In р = In J р | — in, р < 0. (119,10)
Рассмотрим поведение массового оператора при р-^>т-. Имеем тогда -p«/)2/m2^> 1 и с логарифмической точностью
Л (р) = -[»-* (р) — G-1 (/;)] « ? (ур) \п?. (119,11)
Как и в случае фотонного пропагатора (ср. формулы (113,15—16) для поляризационного оператора), поправка к G~x оказывается малой только при не слишком большой энергии, именно при
“ 1
576
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
В данном случае, однако, логарифмический рост в известном смысле фиктивен, он может быть устранен надлежащим выбором калибровки, т. е. функции DU) в фотонном пропагаторе (Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1954). Именно, для этого надо положить (в обозначениях § 103)
