Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
У h >
с очевидными свойствами
S(t, QSit,, t0) = S(t, t0), S-'(t, ^) = S(^ t). (102,12)
Сравнив формулы (102,10) и (102,9), найдем соотношение
Фы(0 = ¦§(*, — оо)Ф, (102,13)
устанавливающее связь между волновыми функциями в обоих представлениях. Соответственно формула преобразования
х) Подчеркнем, что здесь идет речь именно о гейзенберговских г[>-оиера-торах. В представлении взаимодействия калибровочное преобразование электромагнитных потенциалов вообще не затрагивает т|)-операторов.
504
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
операторов:
г) = 5-1(/, — оо) \?ы (/, r)S(t, — оо) =
= 5 (— оо, г) S (/, — оо) (102,14)
(то же самое для я|з и Л).
Сделаем в заключение еще одно общее замечание. Мы уже неоднократно указывали, что в релятивистской квантовой теории физический смысл операторов поля весьма ограничен из-за бесконечности нулевых флуктуаций. Это тем более относится к операторам в гейзенберговском представлении, которые фактически содержат в себе еще и расходимости, связанные с взаимодействием. В этой главе §§ 102—109 посвящены изложению формальной теории, в которой вопросы устранения этих бесконечностей не обсуждаются и действия со всеми величинами производятся так, как если бы они были конечными. Получаемые таким образом результаты имеют преимущественно эвристическую ценность: они позволяют более глубоко уяснить смысл разложений теории возмущений; возможно также, что они сохранятся в каком-то виде и в будущей теории, свободной от нынешних затруднений.
§ 103. Точный фотонный пропагатор
Основную роль в аппарате точной (не разложенной по степеням е2) теории играют понятия о точных пропагаторах г).
Точный фотонный пропагатор (который мы будем обозначать буквой ЙЗ рукописного шрифта) определяется формулой
(*-*') = i <01 (*) Av(X') I 0>, (103,1)
в которой Afi,(x) — гейзенберговские операторы, в отличие от определения (76,1):
(*—*') = i <01 ТЛ^ (*) (*') 10>, (103,2)
в котором фигурировали операторы в представлении взаимодействия. В отличие от точного пропагатора (103,1), функцию (103,2) можно назвать пропагатором свободных фотонов.
Ввиду невозможности точного вычисления среднего значения
(103,1) нельзя получить точное аналитическое выражение для хотя определение (103,1) и позволяет установить некоторые общие свойства этой функции. Этому будет посвящен § 111, а пока мы займемся вычислением по теории возмущений, с помощью
х) Эти понятия были введены Дайсоном (F. Dyson, 1949); им же в основном построен весь излагаемый в этой гласе аппарат.
§ I03J
ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР
505
диаграммной техники. Для этого надо выразить @)т через операторы в представлении взаимодействия.
Пусть сначала t > t'. Используя связь между А(х) и Aint(x) (ср. (102,14)), пишем
®nv (х — х') = i <0 | Лц (х) Av (х') | 0> =
= i<0 | S (—оо, t)A'H>t(x)S(t, —oo)S(—оо, 0^lnt(je')S(/'t — оо)|0>. Согласно (102,12) заменяем S(t, — oo)S(— оо, t') = S (I, V),
S(—oo, t)=S(—oo, -f oo)S(oo, /).
Тогда
@>u,v(x — x') =
==/<0|S-1[S(oo, /) A\Tl (x)S(t, t') A'vnt (x')S (/', — oo)] ] 0>, (103,3) где для краткости обозначено
S = S(-f оо. —°°). (103,4)
Поскольку по определению (102,11) S (t2, 1t) содержит только операторы в моменты времени между t1 и t2, расположенные в хронологическом порядке, то очевидно, что вообще все операторные множители в квадратной скобке в (103,3) расположены в порядке убывания времен слева направо. Поставив перед скобкой символ хронологизации Т, мы можем затем произвольно переставлять порядок множителей, так как оператор Т автоматически устанавливает их в нужном порядке. Воспользовавшись этим, перепишем скобку в виде
[••¦] = Т [Лр"1 (х) Лу11 (x')S(oo, t)S(t, t')S(l', -оо)] =
= Т[Л^ (<Mint(x')S].
Таким образом,
©iiv (*—*') = i <0 I S-^T [Л[Т‘ (x) Л*"* (jc')S] | 0>. (103,5)
Легко убедиться аналогичным образом, что эта формула верна и при t < t'.
Покажем теперь, что множитель S-1 можно вынести из-под знака усреднения по вакууму в виде некоторого фазового множителя. Для этого вспомним, что гейзенберговская волновая функция вакуума Ф совпадает со значением QDint(—оо) волновой функции этого же состояния в представлении взаимодействия (см. (102,9)). Согласно же (72,8) имеем
5Фы(— °о) = 5(+ оо, — оо)Ф1п,(— оо)=Фш(+ оо).
506
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
1Гл XI
Но вакуум представляет собой строго стационарное состояние; в нем не возможны никакие самопроизвольные процессы рождения частиц. Другими словами, с течением времени вакуум остается вакуумом; это означает, что ®jnt(+°°) может отличаться от Ф]п1(—оо) лишь некоторым фазовым множителем еш. Поэтому
•§Фы (— °°)=е1аФш (— оо) = <0 | S | 0> Ф1п* (— оо), (103,6)
или, произведя комплексное сопряжение и учтя унитарность опе-
Отсюда ясно, что выражение (103,5) может быть переписано
Подставив сюда (в числитель и знаменатель) разложение
(§ 77), мы получим разложение по степеням е2.
В числителе (103,7) усредняемые выражения отличаются от матричных элементов рассматривавшегося в § 77 типа (77,1) лишь тем, что вместо «внешних» операторов рождения или уничтожения фотонов в них стоят операторы (х) и Лу11(х'). Поскольку все
