Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
F (a, b+ 1, с+ 1, г) ~~^F (а, Ь, с, г) + Щ^Р’ (а,Ь,с,г).
Окончательный результат представится тогда в виде
da = dos |> (г) + (-Ь^ F'1 (г)] , (96,22)
где doe — борновское сечение (93,13) (Н. A. Beihe, L. Maxi топ, 1954). При q^>m2/e имеем z»l, так что весь коэффициент при йов стремится к единице. В этом смысле формула (96,22), выведенная для области II, автоматически справедлива при всех q т. Когда q^.m2/e и поправочный множитель в (96,22) отличен от ёдиницы, векторы р, р\ к почти компланарны и величины 6 и б' почти равны друг другу; это уже было учтено в (96,22). Таким образом, q в выражении (96,20) для z может быть переписано как
& + б'2 - 266' cos Ф + (1+62)2, (96,23)
т 4е2е
т. е. можно положить 6 = 6' во втором члене в (93,14), но не в первом члене, который не содержит малого коэффициента (~т2/е2).
Для нахождения интегрального (по углам) сечения излучения нет необходимости производить интегрирование заново, как это ясно из следующих рассуждений (Н. Olsen, 1955). Различные направления р' (при заданной энергии е') отвечают вырождению конечного состояния электрона. Очевидно, что результат суммирования по состояниям, относящимся к одному вырожденному уровню, не зависит от того, каким образом будет выбран полный набор этих состояний. Мы можем поэтому воспользоваться для целей суммирования по направлениям р' системой функций фе(+! вместо системы (необходимой для вычисления дифференциального сечения), т. е. определить матричный элемент тормозного излучения как
М}?ри = J («е*)e~ikrtylp}d3x.
Легко убедиться, что этот интеграл совпадает с интегралом (AT"fp)*, если в последнем заменить параметры волновых функций согласно
Р+, р+, е+—> — р, — р, —г; р_, р_, е_—>р', р', е'; к—> — к
(а также заменить переменные интегрирования: г—*¦ — г).
Отсюда ясно, что интегральное (по углам) сечение тормозного излучения можно получить из интегрального сечения образования
470 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [Гл. X
пары (95,20), умножив последнее на
со2 dco _со2 daj
pl
(ср. (91,6)) и заменив е+—> — е, е_—>-е'. Таким образом, найдем dcr = 4Z2ad-f- + ^—4) [in——i~/(aZ)l—. (96,24)
s \s ‘в 3 у тч> 2 1 к ' со ' ;
Мы видим, что поправки к борновским формулам для интегральных сечений тормозного излучения и образования пары даются
одной и той же функцией f(aZ).
Формула (96,24), не связанная с какими-либо ограничениями на величину Za, допускает переход к классическому пределу: fi —> 0, Za —оо. В этом пределе надо также положить едае'. Имея в виду асимптотическое выражение ? (г) да In г при | г |—>-оо и значение Чг(1) = — С (С — постоянная Эйлера), находим для эффективного торможения
и<!я= ^-2 Пп-^т-4-Cl Ж». (96,25)
3 с mctoZe* 2 J
Это выражение, не содержащее %, есть классическое спектральное распределение интенсивности тормозного излучения.
§ 97. Тормозное излучение электрона на электроне в ультрарелятивистском случае
Тормозное излучение электрона на электроне изображается восемью диаграммами Фейнмана: четыре диаграммы
I I
pf*.------k------*-------р, р'+------*-----к------pj
Рг*--------1,6------Рг Ps*--------*-----Рг
(97.16)
Рг'*——г*----------------Pt р'*—г*-----Pi
1 !
Рг*--------Г6-----к-------Рг Рг*----------------------16-Г*-Рг
и четыре «обменные» диаграммы, получающиеся из изображенных перестановкой р2 и р\. Мы приведем здесь результаты вычисле-
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ
471
ний для ультрарелятивистского случая (G. Altarelli, F. Buccella, 1964; В. Н. Байер, В. С. Фадин, В. А. Хозе, 1966)х).
В лабораторной системе отсчета (система покоя одного из начальных электронов,— скажем, второго) интегральное по направлениям фотона сечение излучения может быть представлено в виде суммы do = do(1) -j- doi2), где
(e — начальная энергия первого электрона).
Точность этих формул —до членов относительного порядка /п/е. С этой точностью оказывается, что вклады в сечение от различных диаграмм не интерферируют друг с другом, и в этом схмысле doa) и do{2) отвечают излучению каждым из двух электронов — соответственно быстрым электроном и электроном отдачи (диаграммы (97,1а) и (97,16)).
Диаграммы обменного типа дают такой же вклад в сечение, как и диаграммы «прямые». В силу тождественности электронов суммарный вклад прямых и обменных диаграмм следует разделить на 2; поэтому можно рассматривать только вклад прямых диаграмм и не учитывать тождественности частиц. Для столкновения же электрона с позитроном вместо обменных фигурируют анниги-ляционные диаграммы. Их вклад, однако, оказывается относительного порядка m/е, т. е. пренебрежим. Поэтому с указанной точностью сечения тормозного излучения при столкновениях электрона с электроном и с позитроном одинаковы.
При со^>т отношение
т. е. излучение электроном отдачи мало по сравнению с излучением быстрым электроном (когда это отношение достигает порядка т/е, формула (97,3), разумеется, теряет смысл). Напротив, при обе части сечения почти сравниваются:
4
8—СО 1 8
т т2 \
е .8 — со
со
т2 \ . 2к л 2т 5т2 I
»-4^;,пт-2+7г—
- т при и > ;
(97,2)
(97,3)
