Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
— q2 л; q2 = 4p2sin2-^-,
(82,24)
(82,25)
§ 82] ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ 377
Наконец, складывая вклады (82,20) н (82,25), получим окончательно следующий результат для полных ионизационных потерь быстрой тяжелой частицы:
= 4nZ^ /1п 2^* А (82 26
/и,* /(i_^ V ^
(в обычных единицах). В нерелятивистском случае отсюда получается прежняя формула III (150,10):
x=-nZmy-lngr~ ’ (82’27>
а в ультрарелятивистском случае
Ч1-’7
Торможение зависит только от скорости (но не от массы) быстрой частицы. Убывание торможения при увеличении скорости согласно (82,27) сменяется в ульграрелятивистской области медленным (логарифмическим) возрастанием.
Задачи
1. Определить эффективное торможение релятивистского электрона. Решение. Вклад области малых передач импульса по-прежнему дается (82,20). Для области больших передач вместо<(82,24) следует воспользоваться формулой (81,14), учитывающей обменные эффекты. Интегрируя До?ад по d\ от ] li/2/722 до (у—1)/2 и складывая с (82,20), получаем
г ln2a I . (V-D2
то2 |_ 2 Л V у у2 у ~у*~ 8у2
Y = (l—.
(1)
В нерелятивистском случае получаем формулу из задачи к III, § 149, а в ультрарелятивистском (у 1)
2л2е4 , .
* = ——5- 1П
тс2 V 2/! т8
2. То же для позитрона.
Решение. Для daA в области больших передач следует воспользоваться (81,23), причем верхний предел по Д равен у — 1. Ответ в ультрарелятивистском случае:
2nZei (. 2m2c4y3
тс*
(, 2m2cV 23 \
378
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
§ 83. Уравнение Брейта
Как известно, в классической электродинамике система взаимодействующих частиц может быть описана с помощью функции Лагранжа, зависящей лишь от координат и скоростей самих частиц и правильной с точностью до членов ~ 1/с2 (II, § 65). Это обстоятельство связано с тем, что излучение появляется лишь как эффект порядка 1/с3.
В квантовой теории этой ситуации соответствует возможность описания системы уравнением Шредингера, учитывающим члены второго порядка. Для электрона, движущегося во внешнем электромагнитном поле, такое уравнение было установлено в § 33. Теперь мы займемся выводом аналогичного уравнения, описывающего систему взаимодействующих частиц.
Будем исходить из релятивистского выражения амплитуды рассеяния двух частиц. В нерелятивистском приближении она переходит в обычную борновскую амплитуду, пропорциональную компоненте Фурье потенциала электростатического взаимодействия двух зарядов. Вычислив же амплитуду с точностью до членов второго порядка, мы сможем установить вид соответствующего ей потенциала, учитывающего члены ~ 1/с2.
Предположим сначала, что две частицы различные, с массами т1 и т2 (скажем, электрон и мюон). Тогда рассеяние изображается одной диаграммой
Ей соответствует амплитуда
Мfi = е2 (illy*4) ?>nv (?) (йгТХ).
q = pi—pi = p2~pi (83,1)
(здесь предположено, что заряды частиц одного знака; в противном случае е2 заменяется на —е2).
Дальнейшие вычисления заметно упрощаются, если фотонный пропагатор Dвыбрать не в обычной, а в кулоновой калибровке (76,12-13)!):
А, . = А,,-о, DM = q—(83.2)
х) В этом параграфе мы выписываем во всех промежуточных формулах множители с, а в окончательных формулах также и %.
5 83] УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА 379
Тогда амплитуда рассеяния
Mfl = е2 {й^Ч) (й^°«2) D00 + (й^Ч) (й'2уки2) Dik). (83,3)
В пренебрежении всеми членами, содержащими 1/с, второй член в фигурных скобках выпадает вовсе, а первый дает
M/i = -2mi-2m2 (w(°y,w{0)) U (q), (83,4)
где
(Ч) = *?. (83,5)
а через t^i0>, и)?0), ... обозначены введенные в § 23 спинорные (двухкомпонентные) амплитуды нерелятивистских плоских волн. Функция U (q) представляет собой компоненту Фурье потенциальной энергии кулонового взаимодействия: U (r) — e2jr.
В следующем (по 1/с) приближении «шредингеровская» волновая функция свободной частицы фшр (нормированная по интегралу
5 I ФшР 12d3x) удовлетворяет уравнению
Я(0)Фшр = (е — тс2) фшр,
я«»=р!______eL_ , p = -iV (83,6)
П 2т 8т3с2 Р lV’
в котором учтен следующий член разложения релятивистского выражения кинетической энергии. Амплитуду (спинорную) такой плоской волны обозначим через w (при 1/с—>-0 она переходит в ау(0)). Именно через эти амплитуды и должна быть выражена искомая амплитуда рассеяния для того, чтобы по ее виду можно было определить «шредингеровский» потенциал взаимодействия частиц в рассматриваемом приближении.
В соответствии с формулой (33,11) биспинорная амплитуда свободной частицы и выражается через «шредингеровскую» амплитуду w— с требуемой здесь точностью—в виде
W
u = ]^2m| *mVJ. (83,7)
2 тс Г
С помощью этой формулы находим й[v°«i = u[*Ul = 2т, (1 wi*Wi + ^ w? (°Р0 (op,) w, =
uftui = и[*аи± = - w[* {ct (orpi) + (0po ct} Wi =
= 7 W?{ i [ofq] + 2pj + q} wt
380 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ [Гл. IX
(где q = pi'—pf = p2— pO- Аналогичные выражения для (й2у°и2) и («2уи2) отличаются заменой индексов 1 на 2 и соответственно заменой q на —q.
Подставим эти выражения в (83,3). Поскольку произведение (ulyuj) (й2уи2) уже содержит множитель 1/с2, то в Dik можно пренебречь со2/с2 в знаменателе. В результате получим амплитуду рассеяния в виде
