Физика. Задачи для поступающих в вузы - Бендриков Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
120. Согласно решению задачи 118 сила, растягивающая пружину, Т = 2m\ni2gl(m\ + m2). По закону Гука Т = к(1 - /()), где к = F/AI - жесткость пружины; отсюда
/=/0 + 2mxm2gAll(mx + m2)F = 17,35 см.
121. t = ^2/г(Ш] + ) 1(т2 ~ Щ )g = 0,7 с, где h = 1 м - путь, пройденный
каждой из гирь.
122. 0 = 4hm/{gt2 - 2h) = 10 г.
123. Действующие на тело и груз силы изображены на рис. 225. По третьему закону Ньютона сила нормального давления груза FH п равна по модулю силе реакции N тела, на котором он лежит. Уравнения движения для двух тел и груза запишутся в виде
та = Т — mg, та = mg -Т + N, mita = m{)g - N.
Исключая отсюда аиТ, найдем
FH д = N - 2mm{)g/(2m + ш0) « 0,39 Н.
228
124. Центр масс грузов, очевидно, будет опускаться. Пусть вначале центр масс находится в точке С о (рис. 226) на расстоянии Ь{ по вертикали от первого груза и на расстоянии Ь2 от второго. Величины Ь\ и Ь2 удовлетворяют условию
m\b\=m2b2. (1)
За время t второй груз опустится на расстояние
H = a()t2/2, (2)
а первый поднимется на то же расстояние. Центр масс системы опустится за это же время на расстояние h, определяемое уравнением
т2(Н + b2- h) = mi(H + b t + h).
'/////////,
*е—
у////////////////.
Cop-
С
S"\ aT nT kT
] m2 H
LJ
Рис. 226
f
' m\S
T m2g Рис. 227
Отсюда, учитывая уравнения (1) и (2), найдем, что в данный момент времени
h_ т2-т\ п m2-mia0t2 т2 + пц т2 + тх 2 Ускорение а0 определяется системой уравнений, приведенной в задаче 118: /3(| = (т2 - nii)g/(mi + т2). Поэтому
( Л2 2 2
I _ т2- 1Щ g? _ at ^ ш, + т2 j 2 2
Таким образом, центр масс системы движется равноускоренно с ускорением
а = (т2 - m\)2gl{m\ + т2)2.
125. Считая, что тело массы ni] поднимается, а неподвижный блок с телом массы т2 опускается, уравнения движения можно записать в виде (рис. 227)
пцах = Т- rri\g, m2a2 - m2g - 27’.
229
Связь между ускорениями at и а2 найдем из следующих соображений. Если первое тело поднимется на высоту h\, то второе тело опустится за это время на высоту h2 = hx/2. Так как пройденные пути прямо пропорциональны ускорениям, то отсюда вытекает, что по модулю а2 = Д|/2. Решая данную систему уравнений, найдем
Т = 3mtm2g/(4m\ + m2) = 1,26 Н, а] = 2(m2 - 2W|)^/(4W| + m2) = 5,6 м/с2, а2 = (m2 - 2m{)gl{4m\ + т2) = 2,8 м/с2.
126. Ускорение вдоль наклонной плоскости определяется суммой проекций сил на данное направление (рис. 228): та = mg sin a -f. Сумма
проекций сил на направление, перпендикулярное к наклонной плоскости, равна нулю: N - mg cos а = 0. Следовательно, сила трения / = kN = = kmg cos а. Ускорение
а = g sin а -f/m = #(sin а - к cos а) « 2,45 м/с2.
127. Как видно из решения задачи 126, ускорение тела а = = ?(sin а - к cos а). Согласно условию задачи sin а. = h/l = 1/2,
cos а = V/2 - h2 /1= = л]3/2. Время и конечная скорость определяются кинематически:
t = д/2/ / 2,5 с, v = л/2а/®= 8 м/с.
v о л/sin а- к cos а + л/sin а+ ? cos а g (sin а + к cos а)л/sin а - к cos а
129. Второй закон Ньютона для движения вдоль наклонной плоскости запишется в виде (рис. 229) та = mg sin а -/- Т, где sin а = h/l, а/= 0,1 mg. Кинематическое соотношение, определяющее ускорение, имеет вид а = и2/21; следовательно,
Т = mgh/l - 0,1 mg - mv2/2l * 44,1 Н.
130. Для движения тела вдоль наклонной плоскости уравнение Ньютона имеет вид (рис. 230)
та = mg sin а + F cos а, или а = g sin а + (F cos а)/т = 10 м/с2.
230
Силу давления на плоскость F„ д, равную по третьему закону Ньютона силе реакции плоскости N, можно найти из равенства нулю проекций сил на направление, перпендикулярное к наклонной плоскости:
mg cos а - F sin а - N = О,
или
FH. n = N = mg cos а - F sin а = 277,3 H.
131. Если предположить, что перетягивает груз массы т2, то уравнения движения грузов запишутся в виде (рис. 231) т2а = m2g sin а - Т, тха = Т -m^g. Исключая силу натяжения Т, найдем проекцию ускорения на направление движения:
а = (m2g sin а - mxg)/(m2 + m{) = -0,98 м/с2.
Знак минус означает, что движение в действительности происходит в направлении, обратном тому, которое мы предположили. рис 231
132. Уравнения движения грузов для проекций на направления движения имеют вид
mxa = m\g- 7о, т2а = Т0 - Т - m2g(sin а ± к cos а),
mya = Т- m^g(sin а + к cos а).
Здесь Го-сила натяжения нити между грузами с массами тх ит2\ знак плюс относится к случаю, когда грузы движутся вверх по наклонной плоскости, знак минус-к случаю, когда они движутся вниз. Из этих уравнений находим
_ тх ~(т2 +/n3)(sin<X±?cosa)
/л, + т2 + /п3
_ 1 + sin a ± к cos а
T = m2m^g-------------------.
/л, + т2 + /л3
Движение вверх по наклонной плоскости (а > 0) возможно при т j > (т2 + /л3)(sin а + к cos а), а движение вниз (а < 0) - при /Л] < (т2 + /л3)( sin а- к cos a), tg Ос > к Если эти условия не выполняются, то грузы неподвижны, а сила натяжения Т может принимать различные значения:
1 + sina± fccosa
от 0 до m2m3g---------------------
/Л) + т2 + /л3
-в зависимости от соотношений между т\, т2, /л3, к и а и от силы натяжения нити в начальный момент. Например, при tg a < к и тг < /n2(sin а + к cos а) грузы на наклонной плоскости можно установить так, что нить между ними не будет натянута, т.е. Т-0.
