Физика. Задачи для поступающих в вузы - Бендриков Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
S
¦*
С
Рис. 385
*S
б) Чтобы возвратиться к источнику по пройденному пути, луч должен упасть на второе зеркало перпендикулярно к его поверхности (рис. 386). Поэтому треугольник ABC - прямоугольный и угол ф = 30°.
978. Если a - угол падения луча на зеркало до поворота зеркала, то угол отражения также равен а. Угол между падающим и отраженным лучами равен 2а. После поворота зеркала угол падения стал равен a + \|/, угол отражения также стал равен a + \|/, а угол между падающим и отраженным лучами стал равен 2(а + \|/). Падающий луч остался неподвижным; следовательно, отраженный луч повернулся на угол Ф = 2(а + \|/) - 2а = = 2\|/ = 54°.
979. L = 21 tg 60° « 3,46 м.
980. Если а - угол падения луча на первое зеркало, 5 - на второе (рис. 387), то ¦& = 2а + 25 (как внешний угол треугольника ABC). Кроме того, из треугольника ОВС имеем
ф + (я/2 - 5) + (я/2 - а) = я;
отсюда Ь = 2(а + 5) = 2ф, т.е. угол Ь не зависит от Рис. 386 угла падения луча.
981. После двух отражений от зеркал луч й^дет по направлению, составляющему угол 2ф с направлением падающего луча (см. задачу 980). Этот угол не зависит от положения зеркал и потому не
350
изменяется при их вращении. Отраженный луч, не поворачиваясь, перемещается параллельно самому себе. Искомый угол Ф = 0.
982. Ход лучей в призме показан на рис. 388. Угол падения луча на посеребренную грань ВС равен углу ф = Z. ABC призмы (эти углы имеют
В
взаимно перпендикулярные стороны). Очевидно, что угол падения на непосеребренную грань А В внутри призмы Z. DEF = Z. SDE = 2ф (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых SD и EF и секущей DE). На рисунке изображен случай, когда этот угол больше предельного для данного сорта стекла. При этом Z. ЕАС = Z. FEP = 2ф (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Так как Z. ABC + + Z. ВАС + Z. АСВ = 71, то
Z. ABC = ф = 36°, Z. ЕАС = Z. АСВ = 2ф = 72°.
В
i Рис. 389
983. Обозначим через р и 8 углы, которые составляет луч, идущий внутри призмы, с перпендикулярами к граням (рис. 389а). Сумма углов треугольника АКС равна к, а сумма углов четырехугольника АВСК
351
равна 2л, причем Z. ВАК = Z. ВСК = л/2. Следовательно, ф = (3 + 8. В то же время Ь — внешний угол треугольника ADC, поэтому ¦& = (а - р) + (у - 8) = = а + у - ф. Искомый угол ф=а+у-1? = л/4. Построение хода луча в призме, показанное на рис. 3896, приводит к решению ф = = у + ¦&- а = 5л/12.
Эти решения получены лишь при помощи геометрических условий. Однако одновременно с этими условиями должны выполняться и законы преломления. В частности, во втором случае угол падения на вторую грань призмы 8 = ф + р > ф. Так как показатель преломления стекла п > 1 и sin 8/sin у = 1 /л, то sin у > sin 8 и у> ф. Последнее неравенство противоречит значениям у = 4я/12 и ф = 5я/12; поэтому второе решение следует отбросить.
984. п = sin a/sin р = с/сп, т.е. п ~ 1,4; с„ = с/п ~ 2,14 ¦ 108 м/с,
985. sin $ = sin ф ^л cos ф —^ 1 — л?2 sin2 ф= 0,25; д = 14°30', либо
d = arcsin (п sin ф) - ф = 14°30/.
986. у = (1/2) [лД + \(/ + arcsin (п sin р)] = (1/2) (90° + 20° + 60°) = 85°.
Рис. 390
987. По закону преломления sin а/ sin р = л2/'Ч- Кроме того, а +
+ л/2 + р = л (рис, 390); отсюда sin р = cos а, и, следовательно, tg а =
= п2/пи а= arctg (я2/л,).
988. п = sin а/sin(90°-a) = sin а/л/1 - sin2 а = 1,33.
989. tg а = / /Л, /? = /•+ Я tg Р, sin а/ sin р = п (рис, 391); отсюда
R=r
^1 + Яl-\n2h2 + г2(п2 -1)|
Максимальным радиус тени /?тах = г + Н/ л[п2 - 1 = 7 м будет при h = 0.
990. r=R—Н/л1п2- \ =5,73 м.
991. Вышедший из пластинки луч параллелен падающему, поэтому /г/cos р = Ь/sin (а - р) (рис, 392). Так как sin a/sin р = п, то
byn2 — sin‘ a
2
. t/ у ri 41Л Lv . _
h =---------. -----~ 4,2 cm.
sinaf
х^л/п2 -sin2 a - л/1 -sin2 a j
352
992. I =
n cos a
л/1 — n2 sin2 a
d sin a.
993. Ход лучей в призме показан на рис. 393. Так как ф - внешний угол равнобедренного треугольника ADC, TOi}=2(a-p). Сумма углов треугольника ABC равна ср + 2(п/2 - р) = к, т.е. ф = 2р. По закону преломления sin a/sin р = п; отсюда
sin[(i3 ф) / 2] б1п(ф / 2)
¦ cos(i!) + ф)
,3.
¦ СОБф
994. Ход лучей в призме показан на рис. 394. Так как угол между перпендикулярами к граням равен ф, то Z. АСВ = 2(р - ф). В треугольнике ABC сумма углов
(п/2 + 5) + 2(р - ф) + (п/2 - р) = п\
отсюда
5 = 2ф-р. (1)
Искомый угол 1? есть внешний угол треугольника ADB. Поэтому
•6 = (п/2 - а) + (п/2 + у) = п + у-а. (2)
353
Записав еще законы преломления:
sin a/sin Р = л, sin 5/sin у = 1/л,
получим систему уравнений (1) - (3), из которой следует
(3)
sin = sin а 1 — Г sin 2срл/п2 - sin2 a -cos2(psina)2 ] -
-cosaf sin29"VH2 —sin2 a — cos2(psin a
Подставив ф = я/6 и a = я/4, находим
sin » = (, / 4)( + , - V3 V^T)
Если п = V2, то легко показать, что на посеребренную грань призмы в точке С луч падает перпендикулярно к грани; следовательно, отраженный луч пойдет по пути падающего. Из полученной формулы в этом случае следует sin Ф = 0 и Ф = я. Если же п = 1,41 точно, то sin Ф = 0,0059, т.е. искомый угол отличается от 180° приблизительно на 20'.
