Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
р'^уЦе^К (7.17)
Преобразование (7.17) является каноническим с валентностью В переменных
rk, щ функция Гамильтона будет иметь вид
Н = Oi (а0)гх + а2 (а0)г2 + (а - а0) ri + da0r*)
+ 8 \^rir2 [aiioo со(r) (ф1 + фа - Nt) -\- Pnoo sin (фх -f- ф2 - TVi)] -(-
- - -
(7.18)
Величины а1100 и Р110о выражаются через коэффициенты Фурье,
соответствующие Лг-й гармонике некоторой линейной комбинации функций
Aviviv,v. (t), входящих в исходный гамильтониан (6.4). Используя (7.6),
получаем для них такие выражения:
2Я
aiioo = 2^" ^ K^ooii - Ацоо) cos Nt -f- (Aiooi + ^ono) sin Nt] dt,
I* (7.19)
Pnoo = ~2^ ^ K^iooi -f- houo) cos Nt - (hoon - Ацoo) sin Nt] dt. о
Сделаем еще одну каноническую замену переменных rft,
Гх ^i, Г2 /п 20\
Фх = ог (a0)t -f ф!, ф2 = а2 (а0)t'+ ф2 + 0, где ____________
sin 0 = -ацоо/б, cos0 = Риоо^б, 6=1^а\100 + Ршо-
Тогда изменение переменных Вк, фЛ будет описываться дифференциальными
уравнениями, задаваемыми функцией Гамильтона
Н = (а - а0) gRx + § Д.) + ебУ'ДА sin (x|>xj+ Фа) + ... (7.21)
Выпишем соответствующие дифференциальные уравнения, пренебрегая членами
выше первого порядка относительно е и (a-й0):
^ = ЧГ = " еб C0S ^
йОИ + Фг) / vi(5i + fl!) , 1 .Й1 + йг • /I I .1 \ (7.22)
у = -"") -4^+т86 yfcfsm
НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
51
Очевидно, что в первом приближении по е задача об устойчивости
относительно у* в исходной системе с функцией Гамильтона (6.4)
эквивалентна задаче об устойчивости относительно i?x и i?2 в системе
(7.22). Покажем, что в первом приближении по е область параметрического
резонанса задается неравенствами
66 +ao<a<a0 + .,rf^gX (7.23)
I d (ai +а2)
и что если эти неравенства не выполняются, то система (7.22) устойчива.
Действительно, второе утверждение следует из того, что функция
V = (7?! - i?2)2 + Д2
является интегралом системы (7.22), который как легко проверить, будет
знакоопределенным, если неравенства (7.23) не выполняются. Следовательно,
согласно теореме Ляпунова, система (7.22) устойчива. Утверждение о
неустойчивости следует из существования при выполнении неравенств (7.23)
экспоненциально растущего со временем решения системы (7.22):
Ф1 + Фг = я + arcsin Ъ, Rx (t) = Д2 (t) = Rx (0) ее9 ^i-b4 (7.24)
(Ъ = a - a"d^i + дз)\
V еб da0 )'
Случай простого параметрического резонанса рассматривается аналогично.
Пусть, например, выполняется соотношение 2ах (а0) = = N. Тогда область
параметрического резонанса в первом приближении по е задается
неравенствами
еб
dSi
da0
+ ссо <С " <С °о + | д- I 1 (7.25)
I ^da01
"
где теперь б = Vа2000 + Р^оо, а величин а2ооо и р2ооо выражаются через
коэффициенты исходного гамильтониана по формулам
2Я1
1 i*
ааооо = 2^ \ [(*0020 - *2000) cos Nt + hvm sin Nt] dt,
(7-26)
P2000 - 2^" ^ [*1010 cos Nt - (*0020 - *2000) sin Nt] dt.
ГЛАВА 3
УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ
СВОБОДЫ
§ 1. Преобразование Биркгофа
В этой главе изучается устойчивость положений равновесия гамильтоновых
систем с одной степенью свободы. Предполагается, что функция Гамильтона Н
аналитична относительно координат и импульсов в достаточно малой
окрестности положения равновесия (совпадающего с началом координат) и 2я-
периодична по независимой переменной - времени t. Рассматривается только
тот случай, когда линеаризованная система устойчива (так называемый
эллиптический случай).
При исследовании функции Гамильтона с помощью канонической
заменыпеременных, носящей название преобразования Биркгофа [7], будет
приводиться в окрестности начала координат к некоторому простейшему виду
(к нормальной форме) и в зависимости от соотношений между коэффициентами
нормальной формы будут сделаны выводы об устойчивости или неустойчивости
положения равновесия. Рассмотрим преобразование Биркгофа подробно,
предполагая, что изучаемая динамическая система имеет п степеней свободы.
Итак, пусть изучается каноническая система дифференциальных уравнений
du _ дН_ dPi _ _ дН_ 12 , fll)
St - ePi* dt - d9i I*-1.4•••.";. u-ij
где H - аналитическая функция относительно qt, pt (i = 1,2,.. ., n).
Предполагается, что она либо непрерывна и 2я-периодична по t, либо от t
не зависит. Начало координат qt =pt = 0 (i = 1, 2,..., га) является
положением равновесия, так что разложение Н начинается с квадратичных
членов
Н = Нг + Н3 + Я4 + . . . , (1.2)
где IIk - однородный многочлен степени к относительно координат qt и
импульсов pt.
Если предположить, что линеаризованная система (1.1) устойчива, а ее
мультипликаторы различны, то без ограничения общности (см. §§ 2 и 5 главы
2) можно считать, что Я2 имеет нормальную форму
П
3=1
g i| ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БИРКГОФА 53
Тот факт, что мультипликаторы линейной системы различны,
означает, что характеристические показатели + icfj (/' = 1.2 п>
таковы, что в системе отсутствуют резонансы до второго порядка
включительно, т. е. число
тха1 + /П20г2 ~г . . . + т"ог" ф 0 (mod 1) (1.4)
при целых числах тг, удовлетворяющих неравенствам
