Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
оценке
II е (К) II, < IIК IU ехр {н «; !!<•> + ± (i! а+ Ц<» (г)* + || а„ Ц<» (г)=)} .
Формула ядерного произведения К^-К, соответствующего операторному произведению е (К^) е (К), уже была нами найдена для скалярного Ж — С в случае линейных комбинаций экспоненциальных ядер
f® (X) = fl (х+) и (х+) ® /о Ы ® /о (х»)>
»'Де /v (х) = ® / (х) [fl (X) = П Г+ (*)) •
Проверим теперь эту формулу на операторно-значных ядрах К (со) и Кb (со), заметив, что их произведение является ^-ограниченным для р — у-а, т. к.
IКРК
ИИ
4\<v vo‘i—K У+\х°+, ®oU»+
w+\T+, co0\w0
¦С II *411*11.
a
®
+ I—i “+> w0 1—• 0 / I
“0vi'0'
<
“AV Vv+L>+’
= II Kb ||v IIК 1!„ (Y • a)® (CO); (y¦ aft = ? Yv<4,
psibsv
где использована формула умножения y®-cx® = (y-a)® для скалярных экспоненциальных ядер
Р® Н = П Pv (o>v); р? (со) = П |3“ (а:): (у ¦ ос$ (я) = 2 Yx (*) <*v (*)•
Х?(0
Используя основную формулу скалярного интегрирования (1.4), представим скалярный квадрат действия (2.2) в виде
92
В. П. БЕЛАВКИН
S L Z « (о) h (о0‘ (J О°о) Iк (т) h (т0 U т«)) <*Х =
<V-Jo°=x To'Ut°=x
ЮИ«*« Li^uo:»
0?LM’+. V-К X h (i'o [J vo [J To) da dx dv = [{[(h (v°0 (_| (_] o”)
k\ .и
VUV lVLK/
а'ь I x
<V 40U4t
xK\ о + , _ o,°, _ U («0 LJ w LJ Tn)\dodxdv =
\v+ !—J «+• c.Uf./ /
== 5 ^ 5 S ¦K^ ^ h ^ ^0)^ dbf+ do)® • db
<i)0U<i)+=X
где v0 — o0 П t0, i'+ ==_ст0 П t°+, r0 = t0 f) °°+- v+ = o° П V В силу произвольности h, Ez Ж (>?) $¦ (q) это доказывает формулу ядерного произведения для К^ и А, которая распространяется на произвольные относительно-ограниченные ядра М и К благодаря формуле поляризации эрмитовой функции
кь.к.
Рассмотрим теперь стохастический дифференциал dTt многократного интеграла Tt ~ i‘ (В) от оператор-функции В (^) = е (М (^)), определяемый квантово-стохастическими производными
(х) = 1о(1> (6 (*$)) = е (C*J (х)),
представляющими разности ядер
6’? (х, и) = Vo(I) (Т), Й (acv)) -•= ¦?«*)] (Xv, и) — А,(1) (х?, о).
Здесь v[, (и, Й (ас)) =-- 2j ^ (х LI х> и \ Х)> ж— одна из элементарных таблиц, (1-7) и Хеи*
А((1) (х, и) = М (x»(»U*)\x) = Ai(x)(T)Uac)-if <(*,] (я?,») = S ^ (х. (» U *) \ х) =
jjcz [ |ас
=-- Kiix) (Т) [J ж) + ^(xLJ*. »\х) = Я Их) (ас.») 4 v{,(3C) (и, ЛУ (х)).
Заметим, что К,] (to) = 21 й (^, to \ ^) — Kt+ (<о), где ы'1 -= {iE
Е= <i) j t (х) < t}, t+ = min {< (х) < | х (о), так что (х, и) =
= /?f (х, »), < (* (х), 1+ (х)]. Таким образом, производные Dv (х), х ?Е Х*,
определяющие инкремент Tt — Т0 — il0 (D), представляются в виде разностей
Щ (х) = е [?,<*„ (а#)] - е (а#)]
операторов (2.8) Рассматривая Rt (к) как один из четырех элементов Rt (х^) =
= Kt (х) треугольно-операторного ядра Kt (х), у которого К( (х)_ == Kt(X> =
— Kt (х)+, определим треугольно-операторные функции
Т (х) - е (Kt{x) (х)), G (х) = в (К,(1), (х)).
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЙ: ИНТЕГРИРОВАНИЕ
93
Это позволяет получить квантовую неадаптинпую формулу Ито в виде
Т*Тt — Т*Т0 = i‘ (TbD + DbT 4 DbD),
где D {x) ¦¦= G (x) — T (x). Она является следствием b-гомоморфности отображения (2.2) 7?7’, ~ г (A'l’ • К) и формулы (1.2.У) для произведения операторных ядер Kt и А”!’, которую можно записать н виде
(Af • К,) (а, (J x'v) = S [*t Hi. • Kt (x?) (<o) = [Kb (x) ¦ K( (*)]$ (<o),
где правая часть вычисляется как элемент произведения треугольных матриц К (х) — \К* (х)| определяемого умножения их элементов как операторно-значных ядер Kt (а, (й)_ == Kt (ю) —¦ К, (х, о>)*, Й. (х, (о) -- К (w j_J х). В самом деле, из (1.2.9) получим
[КЬ ¦ К] (<0 LJ Ъ) = I Jtb (х0) ¦ R (х«)] (<0),
[КЬ • К] ((Оих!) = [КЬ ¦ К (Хо) 4 * b (Хо) л (х«)] (о»),
[КЬ-К] (©?*»") = [*Ь (*о) * («+) + (*+)•*] (®).
[КЬ-К] («? Х-) = [Кь¦ R (х;) 4 (Хо)• R (xl) 4 *b (xl)¦ К] (со).
V
Это позволяет записать е [(^Ь • К,) (Ху)] = 2 е (x)).^t (x)v) в виде тре-
Л
угольного оператора
в (К% (x)-Kt (х)) = е (Kt (Х))*е (К, (х))
Ly
¦— произведения треугольных матриц Т( (х) и Т( (.г) с операторными произведениями их элементов. Полагая в этой формуле t — t (х) и I — (+ (х), получим
е [(!&„ • KiU)!) (i) - (Kk, • K,(I)) (.r)] =-¦ Gb (x) G (x) - Tb (x) T (*),
что позволяет записать стохастическую производную квантового неадаптивного процесса 7’< Tt в виде
d (TfTt) = dil (GbG — TbT),
соответствующем (2.9). Теорема 2 доказана.
Замечание 2. Используя неадаптивную таблицу стохастического умножен ия
О, T*D-, T*D~ -l- D~* T
94
В. П БЕЛЛВКИН
формулу (2.9) можно записать в слабом виде
(2.10) || Tth ||* -1| T0h ||2 - J 2 Re (Tl(x)h | D~+ (x) h + Щ (x) h (x)) dx +
x*
+ \ [II ?>+(¦*) * + Oo (x)h(x) ||2 + 2 Re (a (x)THx)h\D+ (x)h + Do(x)h(x))]dx, x*
где a (x) Tt^x)h - T+ (x) h Ь T0 (t) h (x). Эта формула справедлива для лю бых неадаптивных однократных интегралов Т, — Т0 -4- (D) с квадратич-
но-интегрируемыми значениями Тth. V/i -f/+. если в качестве а (х) понимать оператор уничтожения [а (х) Тцх)к\ (х) = [ Tt(X)h\ (х |___________| х) в точке
х ЕЕ X.
В самом деле, учитывая, что
(/ (‘о (D)h) = § Г(/! D+ (х) h + Doh (.г) f (/' (.г) | D°+ {х) h + D°0 (х) h (*))] dx, х(
немедленно получим слабую форму иеадантивной формулы Ито. если подставим сюда DbT + D^D f It’D вместо D. Эту формулу можно получить и непосредственно, вычисляя
