Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
является неустойчивым узлом, следует, что и в том случае, когда область
притяжения ограничена входящей в седло сепаратрисой, ''почти любое"
достаточно большое возмущение выводит систему за границу области
притяжения. Исключение составляет лишь узкий класс возмущений, при
которых плотность популяции хищника уменьшается, а плотность популяции
жертвы одновременно увеличивается таким образом, что изображающая точка
на фазовом портрете остается в секторе, образуемом на фазовом портрете
ветвями входящей в седло С сепаратрисы, выходящими из бесконечно
удаленного узла (см. рис. 3.4.14, области 2, 3, 6).
Интерпретируем то обстоятельство, что практически любое достаточно
большое возмущение выводит систему за границу области притяжения режима
устойчивого сосуществования популяций хищника и жертвы. Наиболее
противоречит интуиции предсказание модели, согласно которому достаточно
большое увеличение плотности популяции хищника всегда должно в конечном
счете повлечь за собой его вымирание. Этот результат можно экологически
интерпретировать следующим образом: однократное резкое увеличение
плотности популяции хищника влечет за собой уменьшение плотности
популяции жертвы до уровня, при котором плотность популяции хищника, в
свою очередь, неизбежно падает до уровня ниже критического, после чего
популяция хищника вымирает. Заметим, что, как всегда в таких случаях,
сказанное является не объяснением явления, а лишь словесным описанием
результата исследования модели.
Проследим, какие события могут происходить в системе при постепенном
изменении значений параметров. Наиболее .богатым (е, п)-срезом полного
параметрического портрета является срез при 4/3 > -у > 1. На нем
представлены все параметрические области системы, и рассмотреть события,
происходящие в системе при движении по параметру, удобнее всего именно на
нем. Пусть исходно параметры системы лежат в области 2 и сама система
находится в устойчивом равновесии А. К чему при этом может приводить
увеличение и уменьшение параметра е?
Нетрудно видеть, что пока значения параметров находятся в области 2,
постепенный рост е приводит к уменьшению равновесной плотности популяции
хищника и к росту равновесной плотности популяции жертвы. Это явление
можно интерпретировать следующим образом. Увеличение параметра означает
уменьшение емкости экологической ниши популяции жертвы. Хищник реагирует
на это уменьшением своей равновесной плотности популяции. Что касается
равновесной плотности популяции жертвы, то она находится под контролем
двух факторов: емкости собственной экологической ниши и пресса хищников.
Второй фактор оказывается в исследуемой ситуации более существенным, и
ослаб-68
ление давления хищников из-за уменьшения их равновесной плотности
оказывается важнее уменьшения емкости экологической ниши. В результате
плотность популяции жертвы растет, несмотря на уменьшение емкости ее
экологической ниши.
При дальнейшем увеличении е система, вне зависимости от значений
остальных параметров выходит на границу параметрических областей 2 и 1. В
этот момент на фазовом портрете устойчивое равновесие (узел) сливается с
седлом С, образуя седлоузел, и при дальнейшем увеличении е оба равновесия
аннигилируют. Все траектории системы притягиваются к ''полутривиальному"
равновесию В. Происходит жесткий срыв нетривиального равновесия А.
Интерпретировать это можно следующим образом: по мере уменьшения емкости
экологической ниши жертв равновесная плотность популяции хищника падает
настолько, что становится ниже критической, после чего популяция хищника
обречена , на вымирание при любых исходных значениях плотностей популяции
жертвы и хищника.
При увеличении значения е события, происходящие в системе, развиваются
единообразно безотносительно к значению параметра и. Что происходит в
системе, исходно находящейся в состоянии равновесия А при значениях
параметров в области 2, по мере уменьшения значения е ?
В этом случае до тех пор, пока значения параметров остаются внутри
области 2, события также развиваются единообразно: равновесная плотность
популяции хищника растет, а жертвы - убывает, оставаясь при этом выше
некоторого минимального значения Mmjn = у. Интерпретация этого эффекта
уже дана выше при описании явлений, происходящих в системе при увеличении
е.
Бифуркационные события, происходящие по мере уменьшения параметра е на
границе параметрической области 2, зависят от значения параметра п (см.
рис. 3.4.13, б). Рассмотрим их, последовательно увеличивая исходное
фиксированное значение п. При малом и< ии уменьшение е приводит к выходу
значений параметров на границу области 4. На параметрическом портрете
системы при этом образуется петля сепаратрисы седла С, из которой при
дальнейшем уменьшении е на фазовом портрете рождается ''большой"
неустойчивый предельный цикл. Для внешнего наблюдателя, следящего за
равновесием А, это событие остается незамеченным, поскольку устойчивость
