Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
Если сначала кодовый вектор есть |v), а вектор дополнительных кубитов есть |0), то конечный вектор дополнительных кубитов (дополнение) будет равен |s) = |Mv), в соответствии со значением синдрома:
|v>®I°L-Hv>®|mvL ¦ <7 57>
Если произошла только одна ошибка, то измерение дополнения спроектирует кодовый вектор либо на правильное состояние, либо на
Исправление ошибок и устойчивое к сбоям вычисление 299
состояние с одним перевернутым битом. Кроме того, логическое значение дополнения выявит положение ошибочного бита, который затем можно будет исправить, применив оператор о\
Описанный здесь метод можно легко развить таким образом, чтобы исправлять также и ошибки переворота фазы. Для этого надо только заметить, что переворот фазы в базисе |0), |1) превращается в переворот бита в базисе, повернутом преобразованием Адамара. Следовательно, задача сводится к исправлению переворотов бита в повернутом базисе. Если мы применим побитное вращение Адамара, то каждый кубит преобразуется в
> ^Н1)^!0)^1» , (7.58)
и кодовые вектора преобразуются в |wo>^|w0)=^(|w0) + |w1)) ,
!w.)4*i) = ^(lwo)+k)) (7-59)
Заметим, что |w0), |w,) удовлетворяют проверке четности. Следовательно, процедура исправления фазовых ошибок состоит в следующем. Применяем побитное вращение Адамара к кодовым векторам, исправляем перевороты бита в повернутом базисе и делаем поворот обратно исходному базису |0), |1) (см. Рис. 7.6). Фазовая ошибка будет автоматически исправлена. Это значит, что код с семью кубитами может исправить любую фазовую и/или амплитудную ошибку в одном кубите.
Данные)
Рис. 7.6. Измерение синдрома переворота фазы в коде с семью кубитами.
7.4.7 Устойчивое к сбоям вычисление
До сих пор предполагалось, что шаги вычисления не вносят новые ошибки. На самом деле операции в логических ячейках сами по себе
300 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
подвержены ошибкам. Более того, кодирование, раскодирование и исправление ошибок - это тоже вычислительные операции. Поэтому возникает проблема - как осуществить надежное вычисление, используя ненадежные цепи. В оставшейся части этого раздела мы проиллюстрируем основные идеи, которые стоят за устойчивым к сбоям вычислением [359]. В качестве примера того, как ошибка при выполнении логической операции может испортить квантовые данные до такой степени, что их нельзя будет восстановить с помощью наших исправляющих кодов, рассмотрим измерение синдрома с помощью дополнительного кубита. Дополнительный кубит является целевым для нескольких операций CNOT. Так как в квантовых элементах CNOT фазовые ошибки в целевом кубите действуют обратно на контрольный кубит, любая фазовая ошибка в дополнительном кубите может распространиться на более, чем один кубит с данными. Заметим, однако, что наш код способен исправить только одну ошибку. Следовательно, если дополнительный кубит заражает два кубита с данными, то тогда искажение данных исправить невозможно.
Чтобы ограничить распространение ошибки, можно использовать в качестве целевых кубитов разные вспомогательные кубиты для различных кубитов с данными. Тогда значение синдрома будет найдено из коллективного измерения всех вспомогательных кубитов. При этом надо позаботиться, чтобы процедура измерения дала нам информацию только об ошибках, но не о состоянии кубитов с данными. Решение этой проблемы было найдено Шором (рис.7.7). В его схеме дополнительные кубиты приготавливаются в линейной суперпозиции состояний с четным числом единиц:
четн.
Например, дополнительные кубиты - по четыре на каждый бит синдрома - приготавливаются в состоянии
Каждый дополнительный кубит будет целевым для своего кубита с данными. В конце значение кубита синдрома будет получено измерением четности битов в дополнительном состоянии. Эта процедура гарантирует, что измерение дополнения дает нам информацию только об ошибках. Более того, она гарантирует, что ошибки в дополнительных кубитах не распространяются по данным.
(7.60)
\Shor) = |0000) + (ООН) +10101) + |l00l) + 10110)
(7.61)
Общая теория квантового исправления ошибок и устойчивости к сбоям 301
>
доп
Рис. 7.7. Устойчивое к сбоям измерение синдрома в коде с семью кубитами.
Однако мы хотим не только хранить данные, но еще и производить над ними операции. Наиболее простой задачей было бы раскодировать данные, выполнить желаемое вычисление, и затем снова закодировать. Однако во время декодирования данные подвержены внешнему шуму. Следовательно, чтобы защитить наши кубиты, нам хорошо было бы произвести вычисление прямо на кодовых векторах. Более того, нам бы хотелось провести вычисление устойчивым к сбоям способом, чтобы избежать распространения ошибок. Это требование автоматически удовлетворяется во всех случаях, когда мы можем сконструировать логические операции на кодовых векторах в виде побитных операций на одиночных закодированных кубитах. Мы показали в (7.58), что это возможно для преобразования Адамара. Операцию CNOT на кодовых векторах также возможно осуществить попарно на кодовых векторах контрольного и целевого кубитов. Вместе две эти операции еще не составляют универсального набора. Но их можно дополнить устойчивой к сбоям версией элемента Тоффоли, и это позволит образовать такой универсальный набор.
