Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
(21 + l)xPi(x) = (I + l)Pw(x) + IPi-i(x), (2l + l)Pl(x)=P(+1(x)-Pl_1(x),
1
(1.197)
-1
(1.198)
1.3. Специальные функции математической физики
69
УКАЗАНИЕ. Применить к произведению (х - I)1 (х -\- I)1 формулу Лейбница
(см. пример 1.17).
1.117. Записать в явном виде присоединенные полиномы Лежандра Ргт для
Z = 0, 1, 2, 3.
1.118*. Вычислить нормировочный коэффициент Cim, введенный в примере
1.20. Записать в явном виде сферическую функцию Лежандра.
1.119. Записать уравнение, которому удовлетворяет сферическая функция
Лежандра Yzm($, ср).
Дельта-функция Дирака. Определение и общие свойства. К понятию дельта-
функции мы приходим, например, при попытке описать плотность заряда р(г)
точечной частицы. Пусть частица находится в начале координат и имеет
заряд е. Тогда, очевидно, функция р(г) должна обладать следующими
свойствами:
р(г) = 0 при г т^О. (1.199)
Но при г -> 0 плотность р(г) должна возрастать столь быстро, чтобы
J p(r)dV = e, (1.200)
АУ
т. е. чтобы интеграл, взятый по любому объему AV, включающему точку, где
находится частица, имел конечное значение, равное заряду е.
Записав р(г) = е5(г), мы получим из (1.199)-(1.200) условия, определяющие
трехмерную дельта-функцию:
5(г) = 0, г т^0; 5(г) -> оо, г -> 0. (1.201)
j 8(r)dV = l. (1.202)
АУ
Аналогичными соотношениями определяется одномерная дельта-функция:
д(х) = 0, х^0; д(х) -> оо, х -> 0; Jd(x)dx = 1, (1.203)
А
где А - отрезок оси х, включающий точку х = 0.
Дельта-функция относится к классу сингулярных обобщенных функций. Она
приобретает точный смысл под интегралом. Рассмотрим интеграл
70
Глава 1
от произведения дельта-функции на произвольную непрерывную и ограниченную
функцию f(x):
J S(x)f(x) dx,
Xl
где х\ < 0, Х2 > 0. Поскольку 5(х) =0 при х / 0, то
вклад в интеграл
дает только малая окрестность е точки х = 0, в которой f(x)
постоянна
и равна /(0):
J 8{x)f{x)dx=f{0). (1.204)
Xl
Далее, путем замены переменной х на х - а в аргументе дельта-функции,
повторяя предыдущие рассуждения, находим:
J 5(х - a)f(x) dx = /(а), (1.205)
Xl
если промежуток (х\, х2) включает точку х = а.
Равенства (1.203) и (1.204) показывают, что 5(х) - четная функция своего
аргумента:
6(х) = 6(-х). (1.206)
С помощью последнего свойства, вводя переменную \а\х = у, убеждаемся в
справедливости соотношения
[6(ax)f(x)dx= |V(0). (1-207)
J И
Xi
Наконец, рассмотрим интеграл
Ж2
J S(g(x))f(x)dx,
Xi
в котором в аргументе дельта-функции стоит некоторая гладкая функция
д(х). Вклад в интеграл дают только точки, в которых д(х) = 0, т.е.
1.3. Специальные функции математической физики
71
действительные корни функции д(х). Обозначив их через а^, можем написать
Х2 а^+б
5(g{x))f(x)dx = ^2 [ S(g(x))f(x)dx,
i di - e
где б - малое число. Если f(x) - непрерывна, то на отрезке [а* - б, а* +
б] можно заменить /(ж) на /(a*), a <7 (я) аппроксимировать первым членом
разложения: д(ж) = g'(ai)(x - а*). В итоге, используя (1.207), получим
^2
[ Hg(x))f(x) dx = ^2 I J ч,/(аг)- (1.208)
J ^\9 (а*)
Ж1 2
Это свойство дельта-функции можно записать в виде символического
равенства
= Е I Z/1 Ч|^(ж~а")- (1.209)
i \9(аг)\
Если ^'(а*) = 0, т. е. а* - кратный корень, то соотношения (1.208) и
(1.209) теряют смысл. Точно так же не имеет смысла произведение 5(x)f(x),
если функция f(x) обладает особенностью при х = 0.
Можно определить также производную от дельта-функции. Точный ее смысл
содержится в формуле
%2
d8(x-a) df(a)
/М дх ix = -(1.210)
которая получается интегрированием по частям. Аналогично определяются
производные высших порядков:
%2
j f(x)5^(x-a)dx=(-irf^(a).
(1.211)
Функция 5(х) может рассматриваться как производная от ступенчатой функции
Хевисайда в(х). Это следует из очевидного соотношения
72
Глава 1
где нижний предел интегрирования х\ - любое отрицательное число.
Дифференцируя это равенство по х, получаем
в'(х) = 5(х). (1.213)
В равенстве (1.212) при совпадении предела интегрирования с точкой, в
которой аргумент дельта-функции обращается в нуль, мы взяли половину
значения гладкой функции f(x) = 1, т. е. воспользовались правилом
интегрирования
а
J f(x)S(x - a)dx = |/(а). (1.213')
Xl
Это правило находится в согласии со свойством (1.206) - четностью дельта-
функции.
Трехмерную дельта-функцию можно рассматривать как произведение трех
одномерных дельта-функций:
5(г-а) = 5(х-ах)5(у-ay)5(z-az). (1.214)
Поэтому все рассмотренные выше свойства одномерных дельта-функций легко
обобщаются на трехмерный случай.
Некоторые представления дельта-функции. Наглядное представление о дельта-
функции и ее производных можно получить, рассматривая график некоторой
непрерывной функции Se(x-а), такой, что f 5е(х-а) dx = 1.
А
Параметр е характеризует ширину интервала, в котором рассматриваемая
функция отлична от нуля (рис. 1.10).
Дельта-функция и ее производные определяются как пределы
5(х - а) = lim Se(x - а),
€->0
dS(x-a) dSe(x - а)
дх = Ло дх
И т.д.
Свойства дельта-функции приобретают многие несингулярные функции,
