Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
to
/ \ 2 1 Tl
+ J dri J dr2[Vr(ri), [Vr(r2), p(to)]]
to ^0
Пусть мы интересуемся вероятностью перехода полной системы в состояние
|/), в котором атом и поле находятся каждый в одном из своих стационарных
состояний. Вероятность такого перехода можно вычислить по формуле
(Д3.39),
так как экспоненциальные операторы, действуя на |/), превращаются в
обычные экспоненты и сокращаются. В (9) следует подставить выражение (8).
Если состояние |/) ортогонально начальному состоянию (например, из-за
разного числа фотонов в этих состояниях), то p(to)\f) = 0, (f\p(to) = 0,
первые два члена в (8) и часть слагаемых третьего члена при вычислении
вероятности дают нуль, и мы получаем из (8) и (9)
WW = ^ /dTl j^2(/|V/(Ti)^o)V/(T2) + V/(r2)p(to)V/(Ti)|/). (6.91)
(9)
t
to
to
Заметим, что
Уг(г2)р(<о)Уг(г1) = (F/(ti)p(?o)V7(t2)) ,
поэтому два слагаемых в (6.91) взаимно комплексно сопряжены.
6.2. Квантовая теория излучения, поглощения и рассеяния фотонов 609
Другая формулировка дипольного приближения. В том случае, когда
нерелятивистская система взаимодействует с той частью мод полевого
континуума, длина волны которых существенно превосходит размер системы,
оператору взаимодействия можно придать другую форму, отличную от (6.58) и
аналогичную энергии взаимодействия (2.35) диполя со статическим полем
(см., например, [Коэн-Таннуджи и др. (1992)]). Предполагая, что система
зарядов мала и находится вблизи начала координат, заменим оператор А(г)
на -4.(0). Далее произведем унитарное преобразование с помощью оператора
(мы изменили обозначение для дипольного момента, чтобы не путать его с
оператором импульса). Индекс j = ка характеризует пространственную
поляризационную моду. Оператор A j соответственно имеет вид
Поскольку в оператор унитарного преобразования (6.93) входят канонические
переменные и частиц, и поля, то все они модифицируются следующим образом:
U = ехр
^ d • .4.(0)J = ехр - Xfi]) , (6.92)
¦>)
э
где d - оператор дипольного момента
(6.93)
а
(6.94)
(6.95)
Эти соотношения следуют из формулы (ДЗ.67.1) операторной алгебры.
610
Глава 6
Поучительно также преобразовать операторы поля. Для векторного потенциала
имеем
А (г) = UA(r)W =
=?(^Г
= А(г) +
ej(aj + Aj)e1^3 г + е*Ла\ + \])е *г
27ГС
fe(fe • d)eifc r - • 2)е~гк-г
= А(г). (6.96)
Здесь использованы соотношения (6.95) и формула суммирования ортов
поляризации (2.165), в одной из сумм по к сделана замена к -> -к. Таким
образом, оператор векторного потенциала инвариантен относительно
рассматриваемого унитарного преобразования. Аналогичным свойством
обладает оператор магнитного поля: Н (г) = Н(г). Однако оператор
электрического поля преобразуется следующим образом:
E(r) = UE±(r)W =
/2тг/^Л1/2
У
iej(dj + Лj)e1^3 r - + А])е
= i2(r) - 47гР(г),
P(v) = '?^ej(e*rd)e^-r.
где
t \-гкгГ
(6.97)
(6.98)
Для выяснения физического смысла последней величины произведем в (6.98)
суммирование по поляризациям и интегрирование по волновым векторам,
использовав формулы (2.165) и (2.164) (в последней следует устранить
множитель 2). В результате простого интегрирования получим
P(r) = dS(r) +
3r(r • d)
47ГГ5
d
4irr3
(6.99)
Первое слагаемое в правой части можно интерпретировать как оператор
вектора поляризации, который создан точечным диполем, находящимся в
начале координат. Оставшиеся два члена дают оператор электрического поля,
созданного статическим диполем (см. дипольное слагаемое в формуле
(2.21)).
6.2. Квантовая теория излучения, поглощения и рассеяния фотонов 611
Таким образом, унитарное преобразование добавило к поперечному полю
излучения поле статического диполя и его вектор поляризации. Обе эти
величины расходятся при г -> 0.
Построим теперь преобразованный гамильтониан полной системы. Интересуясь
в дальнейшем только электрическим дипольным излучением, опустим из
гамильтониана спиновое слагаемое Паули ' На- Кроме
гать квадратичным по векторному потенциалу слагаемым. Используя (6.21) и
(6.55), будем иметь
Предпоследняя строка этой цепочки равенств содержит сумму гамильтонианов
свободного электромагнитного поля и атома; операторы в последней строке
описывают эффекты взаимодействия. Пользуясь соотношениями (6.97) и
(6.98), запишем их в виде
Первое слагаемое аналогично энергии взаимодействия статического диполя с
внешним полем (см. дипольный член в формуле (2.35)). Оно содержит
динамические переменные поля и ответственно за процессы испускания и
поглощения фотонов. Второе расходящееся слагаемое представляет собой
энергию самодействия точечного диполя, не связанную с полем излучения.
Оно возникло из-за сделанных приближений (пренебрежение размером атома) и
должно быть исключено. В итоге оператор взаимодействия Неподвиж-
ен
того, как уже было сказано, заменим А (г) на А (0), но не будем пренебре-
j
3 3
(6.100)
= -d • Е(0) + 2тгd • Р(0) =
(6.101)
612
Глава 6
ного атома, находящегося в точке с радиусом-вектором R, с квантованным
полем принимает окончательный вид
