Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
левой части также 4-вектор. Векторами являются и его отдельные слагаемые
Ткг dSi при любой ориентации элементов dSi, в частности, интеграл f Тк0
dV.
m
Рис. 4.19
На удаленной боковой поверхности Е; поле отсутствует, Ткг = 0. Из этого
факта, уравнения (1) и уравнения непрерывности дТкг/дхг = 0 следует, что
f Tk0(t) dV = f Tk0(f) dV, т. e. рассматриваемый 4-вектор, как и должно
быть, не изменяется со временем.
4.143. Полный момент импульса частиц и поля в рассматриваемом
конечном 3-объеме
(1) L^(t) = ? 1а0 - \ f (хаТ^ - хрТа^) dS~/,
E(t)
где 1а@ = хар@ - х@ра - момент импульса одной частицы, сумма берется по
всем частицам. Гиперповерхность Е(t) перпендикулярна оси t и представляет
собой, в отличие от предыдущей задачи, конечный трехмерный
4.4. Ответы и решения
435
объем V. Убыль момента импульса системы за время dt:
(2) -dLaj3 = Laf3(t) - Laf3{t + dt) = -^2 dl<xP + \ J
E(t)
Перейдем в (2) к интегрированию по замкнутой цилиндрической
гиперповерхности Тцои записав Г + Г + Г = f . Здесь Е' - боковая ци-
E(t+dt) E(t) S' Etot линдрическая поверхность, образующие которой
параллельны оси времени (см. рис. 4.20, не забывая об условности
изображения 4-пространства на бумажном листе). Во всех интегралах
элементы dSi должны быть ориентированы вдоль внешней нормали к
гиперповерхности.
Применив теорему Остроградского-Гаусса, будем иметь
(3) / {хаТ0г - x0Tai) dSi =
J Stot
= [ - (хаТ^ - x0Tai) dfl.
J дхгУ '
С помощью уравнений (4.133) и (4.53) убеждаемся, что интеграл по 4-объему
в (3) преобразуется в изменение момента импульса частиц ^2dlaP.
В результате (2) преобразуется к виду
(4)
-dLaf3 = \ J (хаТ^ - а^Т"7) dS1
Элементы гиперповерхности Е' нормальны к оси времени, их можно записать в
виде dS1 = cdtn7df, где df - элемент обычной двумерной поверхности,
ограничивающей объем V, п - орт нормали к этому элементу. Это позволяет
получить из (4) выражение для убыли момента импульса в единицу времени:
(5)
dLa0 dt
= j) (-хаТ^ + х0Та~1) n7 df.
Введем антисимметричный по значкам а, [3 тензор = x@Tai -
- хаТ@1. Этот тензор можно интерпретировать как плотность потока мо-
436
Глава 4
мента импульса, что вытекает из (5). Компонента равна количе-
ству а/3-компоненты полного момента импульса Ьа@, протекающему в единицу
времени через единицу поверхности, перпендикулярной оси с номером 7.
Обозначим через L и 3-векторы, дуальные антисимметричным тензорам La@ и
^а/з7п7. Тогда равенство (5) примет вид
(6)
где
(7) М = Е2 + Н\ хп-^r х [Е(п ¦ Е) + Н(п ¦ Н)}.
87Г 47Г
При получении последней формулы использовано выражение (4.126) для
компонент тензора энергии-импульса и таблицы (4.68).
Глава 5
Излучение и рассеяние электромагнитных волн
5.1. Функция Грина и запаздывающие потенциалы
Излучение электромагнитных волн удобно изучать с помощью электромагнитных
потенциалов, удовлетворяющих неоднородным уравнениям Даламбера
Мы получим решения этих уравнений в безграничном пространстве,
предполагая, что источники поля j, р распределены в конечной области
пространства и представляют собой известные функции координат и времени.
Следует подчеркнуть, что такая постановка задачи с самого начала носит
приближенный характер. В действительности создаваемое заряженными
частицами поле влияет на их движение, поэтому правые части уравнений
(5.1), строго говоря, представляют собой нелинейные функционалы от
искомых потенциалов. Но во многих случаях (хотя и не всегда - см. раздел
5.4) обратное влияние собственного поля на движение зарядов оказывается
малым и им можно пренебречь. При этом задача линеаризуется. Именно такую
задачу мы и будем решать.
Функции Грина волнового уравнения. Определим функцию Грина G(r,t; r',t')
как решение волнового уравнения для безграничного пространства с
дельтаобразной правой частью:
Лтг р(г, ?),
>
(5.1)
и условию Лоренца
(5.2)
AG-±^ = -4ir6(r-r')5(t-t')
(5.3)
438
Глава 5
Решение неоднородного волнового уравнения можно записать с помощью
функции Грина в виде интеграла:
= \ J G(r,t; г',t')j{r',t')dzr' dt'. (5.4)
Применяя к A(r, t) оператор Даламбера и пользуясь (5.3), убеждаемся, что
уравнение (5.1) удовлетворяется.
Пример 5.1. Показать, что функция Грина волнового уравнения зависит
только от разностей R = г - г', т = t - t'.
Решение. Правая часть уравнения (5.3) зависит только от R и г, а
производные в левой части при фиксированных г' и tf можно брать по R и т.
При этом уравнение (5.3) примет вид
AG ~ ^0 = (5.5)
где оператор А действует на координаты R. Из вида уравнения следует, что
G(r,t; r',tf) = G(R, т). ¦
Пример 5.2. Из уравнения (5.5) найти наиболее общий вид фуръе-об-раза
G(k, со) разложения функции Грина по плоским монохроматическим волнам
{см. формулы (2.114)).
Решение. Разлагая обе части уравнения (5.5) по плоским монохроматическим
волнам в соответствии со второй формулой (2.114), получаем алгебраическое
уравнение
(к2 - со2/c2)G(k, со) = 47г.
Формальное решение последнего уравнения имеет вид
