Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
задаче 4.60. Ниже мы используем метод Гамильтона-Якоби, удобный при
нахождении траектории частицы.
Запишем уравнение Гамильтона-Якоби в плоских полярных координатах с
полярным углом а, отсчитываемым вокруг направления сохраняющегося в
центрально-симметричном поле U(r) = -Ze2/г вектора момента импульса I :
a) (?)a+\(?)2-^№-^)2+rnv=o.
дг) г \да) с \ dt г
Для решения задачи требуется найти действие S, зависящее от координат г,
а, времени t и двух независимых и неаддитивных постоянных интегрирования.
Проведя разделение переменных
S(r, а, t) = W(r)+F(a) + m,
находим из уравнения (1)
f(t) = -it, F(a) = la,
^ ^ W(r) = ± J [i2/с2- m2c2 - (I2 - Z2e4/c2)r~2+ 2Ze2i/с2^1^2 dr.
Здесь 8 и I - постоянные, введенные при разделении переменных и
представляющие собой полную энергию и момент импульса частицы. В данном
7Но эта возможность как правило не реализуется из-за коллективных
эффектов в плазме.
4.4. Ответы и решения
399
случае полная энергия 8 включает в себя не только энергию покоя частицы и
ее кинетическую энергию, но также и потенциальную энергию ее
взаимодействия с кулоновским центром:
Ze2
(3) 8 = л/с2(р2 +р2а/г2) + т2с2 -
Это следует из уравнения (1), если использовать определения обобщенных
импульсов: pr = dS/dr, ра = dS/da = I.
Чтобы найти траекторию частицы методом Гамильтона-Якоби, нужно
продифференцировать действие S по I и приравнять эту производную
некоторой постоянной, dS/dl = ао, которая должна быть определена из
начальных условий. Это приведет к уравнению траектории вида
<4) '/
Ч$
ё2 m2r2 l2c2-Z2e4 2Ze2g1 ^
с2 с2 г2 с2 г
= =Ь(су - с^о) •
Для вычисления интеграла и классификации траекторий удобно ввести другие
постоянные, которые будут обобщать на релятивистский случай величины,
использованные в соответствующей нерелятивистской задаче 4.66:
/кч " Ze2 1 Л е 1 , т2с4,, оч Ze2
(5) а=- ho-1" T*QP=^r-
р" J г м
Здесь параметры ей р безразмерны, а имеет размерность длины. Далее
рассматриваем различные соотношения между параметрами.
Случай 1. р = Ze2/1с < 1, а > 0. Переходя в (4) к интегрированию по
переменной х = а/г, и выбирая а = 0 в одной из точек наибольшего
приближения частицы к центру, приводим интеграл к табличному:
а/г
(6) [ - = - arccos ------- = ±д/1 - Р2 а•
^ ,/е2-(х-1)2
Таким образом, получаем уравнение траектории:
(7) г =
а
1 + е cos д/l - р2 а
Здесь опять может быть несколько вариантов. При е < 1, что, согласно (5),
имеет место при тс? > 8 ^ тс2 л/1 - р2, движение финитно.
400
Глава 4
Рис. 4.12
Траектория в общем случае имеет вид незамкнутой розетки, заключенной
между окружностями с радиусами а/( 1 + е) и а/(1 - е) (рис. 4.12). В
нерелятивистском случае аналогом такой траектории является эллипс. Ее
можно получить путем вращения (прецессии) эллипса в своей плоскости.
Полное колебание радиуса от минимального значения гт-ш = а/(1 + г)
(перигей) до максимального значения rmax = а/(1 - е) (апогей)18 и обратно
до нового минимума происходит при возрастании а на 2тг/д/l - р2. Перигей
орбиты, таким образом, за один период изменения г поворачивается на угол
27г[(1 - р2)-1/2 - 1]. Если д/l - р2 представляет собой рациональное
число, то после некоторого числа оборотов траектория замыкается на себя.
При е > 1, что соответствует 8 > тс2, движение инфинитно. Траектория
напоминает гиперболу (она получается из гиперболы путем увеличения
полярных углов в(1 - р2)~х!2 раз). Она имеет две ветви, уходящие на
бесконечность при а = ±ао, где ао = (1 - р2)-1/2 arccos(-l/е). Частица,
приближающаяся к центру по одной из этих ветвей, может совершить вокруг
него несколько оборотов, раньше чем уйти на бесконечность по другой
18С равным основанием эти точки можно называть перигелий и апогелий или
периселений и апоселений.
4.4. Ответы и решения
401
ветви (рис. 4.13). При г = 1 (8 = тс2) движение также инфинитно, а
траектория "параболоидна".
Рис. 4.13 Рис. 4.14
При р <С 1 рассмотренные траектории переходят в обычные эллипс (е < 1),
гиперболу (е > 1) и параболу (е = 1) нерелятивистской кеплеровой задачи.
Это естественно, так как при v/c ^ 1 выполняется условие р I.19
Случай 2. р = Ze2/1с > 1, а = - |а| < 0. Ввиду изменения знаков в
подкоренном выражении интеграла (3) вычисляем его заново и получаем
г <j(M/r) = Ard, i + Mfr = +'/?-Гп.
J ^(l - |а|/г)2 - в2 е
19Можно произвести такую оценку величины р в нерелятивистском случае для
связанного состояния:
Ze2 _ Ze2 _ \Щ
р = -- и ------- и ----.
ic rmvc rnvc
По теореме вириала (задача 4.65) \U\ = 2Т и mv2, так что р и г>/с 1. При
инфинитном движении на большей части траектории \U\ 2Т, поэтому
р еще меньше.
402
Глава 4
что соответствует наиболее простому выбору постоянных интегрирования.
Отсюда получаем уравнение траектории:
\ J - -
- 1 + г ch д/р2 - 1 а
Траектории имеют вид спиралей, закручивающихся вокруг начала координат
при а -> ±оо. Частица падает на силовой центр (в нерелятивистском случае
падение на центр возможно только при I = 0, р = оо). При 8 > тс2 параметр
