Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
4.137. Показать, что поток тензора натяжений Максвелла через
поверхность некоторого трехмерного объема в статическом случае равен
полной электромагнитной силе, приложенной к частицам, находящимся в этом
объеме (если частицы не пересекают его границ). Какая величина
добавляется к этому балансу в переменном поле?
4.138. На основе общих результатов, полученных в примере 4.20,
выразить через лагранжиан и его производные обобщенный нетеровский ток,
соответствующий бесконечно малому собственному преобразованию Лоренца
(см. задачу 4.20). Проанализировать частный случай, когда преобразование
сводится только к повороту пространственных осей. На примерах лагранжиана
(4.100) для бесспиновой нерелятивистской частицы и аналогичного
лагранжиана для нерелятивистской частицы со спином 1/2 выделить в
нетеровском токе слагаемые, относящиеся к орбитальному моменту импульса,
и те, которые относятся к спиновому моменту. Записать средние
квантовомеханические значения этих величин в форме, принятой в квантовой
механике.
368
Глава 4
4.139*. Пользуясь теоремой Нетер, построить 4-тензор плотности момента
импульса для электромагнитного поля в отсутствие частиц. Для этого
рассмотреть бесконечно малое собственное преобразование Лоренца,
включающее в себя как чисто пространственные повороты, так и лоренцевские
псевдоповороты (см. задачу 4.20). Путем добавления к тензору момента
некоторой дивергенции привести его к такому виду, чтобы связь между
плотностью импульса и плотностью момента импульса имела тот же вид, что
связь между импульсом и моментом системы частиц: М = га хра.
4.140*. Построить тензор плотности момента Мщ для замкнутой системы,
состоящей из частиц и электромагнитного поля. Выяснить смысл
пространственных Мар и смешанных Моа компонент тензора полного момента
импульса системы.
4.141*. Пользуясь теоремой Нетер, найти интегралы движения
нерелятивистской заряженной частицы в однородном магнитном поле Н.
Показать, что полный момент импульса складывается из момента импульса т
[г х v] самой частицы и момента импульса f г х gd3x электромагнитного
поля. Его электрическая составляющая - это кулоновское поле частицы,
магнитная составляющая - внешнее магнитное поле Н.
4.142. Электромагнитное поле отлично от нуля лишь внутри некоторого
конечного пространственного объема V, в котором отсутствуют заряды.
Показать, что полные энергия и импульс поля образуют 4-вектор.
4.143*. Система состоит из частиц и электромагнитного поля и занимает
конечный объем. Из рассмотрения баланса полного момента импульса Mik этой
системы найти выражение для плотности потока момента импульса поля.
Воспользоваться результатами задачи 4.140.
4.4. Ответы и решения
4.4. Sik = Ski, Aik = -Аы, Stk = Skt ф Sk\ Агк = -Akt ф-Ak\
4.5. Тгк = (1/4)Тгг<5* + (Tik - (l/4)Ttl6k).
4 ^ gikl _ j^ikl _|_ j^kli _|_ j^lik _|_ j^kil _|_ j^ilk _|_ j^lki.
J^ikl _ j^ikl _|_ j^kli _|_ j^lik _ j^kil _ j^ilk _ j^lki
4.9. Вш = +(1 /6)ет^1Вгк1, Aim^= - (1/2)eijrnikAlk, Jkim - eikimJl-
Поскольку eikim - псевдотензор, то Агк и Jг также псевдотензоры,
если Вт, Aim и Jkim - истинные тензоры.
4.4. Ответы и решения
369
4.10. Вектор Си лежащий в плоскости (Ai, Вк), можно представить как
линейную суперпозицию векторов Ai и Вк:
Сх = SAt + РВи
где S' и Р - некоторые инварианты. Дуальный тензор согласно (4.30) имеет
вид _
Сгк = (1/2)eiklm(AiBm - AmBi) = егк1гпАХВШ.
Ортогональность вектора Ci и тензора Сгк означает обращение в нуль их
скалярного произведения CiClk = 0, что фактически имеет место в силу
антисимметрии псевдотензора егк1т по любой паре значков.
4.11. В трехмерном пространстве объем, построенный на трех векторах dr,
dr', dr", можно записать в виде определителя (см. задачу 1.14)
dV =
dx i dx 2 dx з dx[ dx 2 d^3
dx'/ dx2 dx%
Он не имеет направления (является псевдоскаляром), но может быть
положительным или отрицательным. По аналогии трехмерный объем в 4-
пространстве можно выразить в виде определителя, который представляет
собой, однако, антисимметричный 4-тензор III ранга:
Vikl -
Ai Ак Ai Bi Вк Bi
сг ск ct
Имеется 4 существенно различных компоненты такого тензора (с индексами
123,120,103, 023), которые можно трактовать как компоненты дуального
псевдовектора
Vi = (l/6)eMmVklm = еМтАкВгСт.
Наличие направления у трехмерного гиперобъема означает возможность
различной ориентации любого элемента трехмерной гиперповерхности в
четырехмерном пространстве (вспомним, что элемент двумерной поверхности в
трехмерном пространстве также может иметь различную ориентацию). В
частности, компонента V0 изображает обычный трехмерный объем, построенный
на трехмерных векторах А, В, С и взятый с тем
370
Глава 4
или другим знаком (в зависимости от того, правую или левую тройку
векторов образуют векторы А, В, С). В зависимости от знака он может быть
направлен вдоль оси Ох° (в будущее) или против нее (в прошлое).
Аналогичный смысл имеют другие компоненты V\
Любой вектор Gi, принадлежащий трехмерной гиперповерхности, может быть
