Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
261
108. На оси симметрии диска (ось z направлена от отрицательной стороны
диска к положительной):
Ех - Еу - 0, Ez -
y/WT.
2жa2rz \z\{a2 + z2f>2'
109. а) В цилиндрических координатах:
2т
Еа - -, Er - Ez - 0;
б) ip = 2т(тг - a), ?а = -±|^ = ^; Ег Поле Е совпадает с магнитным
полем прямолинейного тока У = тс.
110. Уравнение силовых линий
(z + a)[(z+a)2 + r2}-1/2±
±{z-a)[{z-a)2+r2]-1>2 = C,
Ez = 0.
где С - постоянная. На рис. 50а изображена картина силовых линий для
случая разноименных зарядов. В случае одноименных зарядов в поле имеется
нейтральная точка г = 0, z = = 0 (рис. 506).
111. Целесообразно перейти к сферическим координатам. Устремляя а к
нулю, разлагая в ряд и отбрасывая члены порядка а2 и выше, получим г = С
sin2 д.
112. г = Су/sin2i?| cosi?|, С = const.
Не следует забывать, что в случае квадруполя конечных размеров,
полученная формула пригодна только для больших расстояний (рис. 51).
114. 92 =
Ф + л/2(л/2 - 1)тг q %/2(л/2-1)тг '
262
Глава II
115. Рассмотрим силовую трубку, полученную вращением некоторой силовой
линии вокруг оси 2. Применив электростатическую теорему Гаусса к объему,
ограниченному боковой поверхностью этой трубки и двумя плоскостями 2 =
const, не содержащему внутри себя зарядов, найдем, что поток через любое
нормальное к оси сечение трубки Ф(г) = YlQ&(z) (см- зада-
чу 113) не зависит от 2 (при изменении 2 между и 2/t+1). Здесь Cli(z) = =
27г(±1 - cos а") - телесный угол, под которым видна отрицательная сторона
такого сечения из точки 2", где находится заряд цй сч - угол между
направлением оси 2 и радиусом-вектором точки контура нормального сечения
с координатами (г, 2). Знак "+" нужно брать при 2 > 2*, знак "-" при 2 <
2*. Если при изменении 2 нормальное сечение трубки перейдет через заряд
q\t, то Ф(2) скачком изменится на ±47гqk, однако при этом не изменится
Y^qi cos ctj. Выразив cos а* через 2, 2* и г, получим искомое
117. Выберем цилиндрическую систему координат, ось 2 которой совпадает с
осью цилиндра (рис. 52). Вместо условия <p|s = const на
поверхности S цилиндра удобнее ис-
и без него. В результате получим, что при х\ = эквипотенциальной
поверхностью будет любая цилиндрическая поверхность, ось которой
параллельна заряженным нитям и лежит с ними в одной плоскости, а радиус
удовлетворяет условию R2 = Х\Х2. При х\ = 0 существует решение хч = 0.
Этот случай соответствует цилиндрическим эквипотенциальным поверхностям в
поле одной нити.
г
г
уравнение семейства силовых линий:
С = const.
X, X
пользовать вытекающее из него условие ^ = 0. В результате дифферен-
цирования получим
R2 + х\ - 2Rx\ cos а
Х2Х2
XiXi
R2 + Х2 - 2Rx2 cos a
Рис. 52
Освободимся от знаменателей и приравняем по отдельности члены с cos а
Постоянное электрическое поле в вакууме
263
118. Воспользуемся рис. 53 Радиус R искомой сферы и положение ее центра
определяются уравнениями
Р2 _ _ _ 21 _ 9?
- *1*2, 22 ~~ "2 •
V2
Потенциал на поверхности этой сферы равен нулю.
-аг _ ^
119. A<p = qA(-
= -4-кд6(г) +
дг2 qa2e~ar
Таким образом, имеется точечный заряд q в начале координат и сферически
симметрично распределенный объемный заряд с плотно-
стью р
qa2e аг 4-кг
. / Р dV
120. Точечный заряд ео в начале координат, окруженный объемным
2г
зарядом с плотностью р(г) = -^-е ° . Такой вид имеет распределение
7Г а
заряда в атоме водорода (ср. с задачей 83)
2 оо 2г 2
121. U = f^p(r)dV = --^ fre °4тrdr = -^.
7ГО о
122. [/ =
123. С/ =
5ер 4о '
9i?2
F =
9i 92
124. R =
327га
Яо '
125. U
"§§ h h
X\X2dlidl2 Q1Q2
г 12
2тг 2тг //
4ir2ab о о у/с2+а2 +Ь2-2abcos(ai -аг)
где интегрирование выполняется по всем элементам обоих колец dli и dl2,
ai и "2 - углы, указывающие расположение элементов. Интегрируя по da2
264 Глава II
и делая замену a\=ir - 2а, получим
U = ^K(k),
'Ку/аЬ
где
7Г
2
2 у/ab "г f da
к =
yjc2 + (a + ft)2 У \/l - fc2 sin2 a
- полный эллиптическим интеграл первого рода При I формулой
При вычислении силы F = -Щ- = -ЩгШ нужно воспользоваться
ас ак ас
dK(k) Е(к)
" Щё) ~ ГГё ~ Щк)
¦i _______________
(см. справочник [90], 8.112), где Е(к) = f у1 - к2 sin2 a da - полный
эллиптическим интеграл второго рода. Окончательно,
qiq2ck3 Е(к)
F =
4тг(аЬ)3/2 1-fc2'
126. F = N="^.
ГГ г
тг sini^i 8Ш1?2С08 0? - 2cOS1?i COS1?2
127. и = pm------------3-----------,
г
где = Z(r,pi), = ^(г>Р2)> V - угол между плоскостями (r,pi) и (г,р2),
sin di sin cos ip - 2 cos i cos 2
F = 3pip2-
r4
Сила максимальна при = 0, т. e. при параллельных диполях.
128. U2\ = fp(r')Vl(r')dV' = ? .r^aimfr'lYlm(d',a')dV' =
IjTTl V
Глава III
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
.. .. 2 Q т\ 2ei qr ^ 2е2 ?г
129. (fi=(f2 = -j- • Dl = - -D2 = - -3.
?l + ?2 ?i + e2 r3 ?i + e2 r
2tt 9
130. <p\ = <p2 = ч>г = Dj =
?l<*l + ?20:2 + ?30:3 r'
2n?i qr
eiai + ?20:2 + e3a3 r3'
131. Граничным условиям (<p = const на поверхности проводника
Л
и <р = 0 при г -у оо) можно удовлетворить потенциалом вида ip =
