Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
для возникновения такого излучения. Найти частоту ш этого излучения
(сверхсветовой эффект Допплера).
679. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что черен-ковское
излучение одного кванта частоты ш невозможно, если показатель преломления
среды п(ш) ^ 1 (см. задачу (676)). В частности, невозможно одноквантовое
черенковское излучение достаточно жестких фотонов, так как при больших
частотах п(ш) < 1. Показать, что при равномерном движении быстрой
заряженной частицы с энергией <§о через среду может
'Аналогичный эффект может иметь место также при прохождении через
вещество нейтральной частицы, обладающей электрическим или магнитным
моментом.
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле 189
происходить излучение сразу двух фотонов, один из которых (с частотой
и>г) может быть жестким, так что для него п(и>г) -*¦ 1- Выяснить, каким
условиям должны удовлетворять частота другого фотона и скорость ио
частицы (ho 1 <С сро), чтобы был возможен такой процесс (жесткое
излучение Вавилова - Черенкова). Какова наибольшая энергия жесткого
кванта?
680. Рассмотреть кинематику жесткого излучения Вавилова-Черенкова (см.
предыдущую задачу), считая электрон ультрарелятивист-ским, во " тс , а
угол $2 вылета жесткого кванта малым. Определить максимальное значение
(ho2)max энергии жесткого кванта, которого можно достичь в этом случае;
рассмотреть характерные частные случаи.
681. Кристаллическая решетка способна принимать импульс толь-
ко дискретными порциями q = 27r/ig, где g - вектор обратной решетки. В
случае кристаллической решетки, элементарная ячейка которой имеет форму
прямоугольного параллелепипеда с ребрами ai, а2, аз, вектор g = = ^|),
где щ, "г, пз - любые целые числа. Считая, что кристалл,
имеющий очень большую массу, не может принимать от частицы энергию,
выяснить, какой характер будет иметь угловое распределение частиц,
рассеиваемых на монокристалле.
682. Учитывая связь ро = 2nh/\o между импульсом ро частицы и
соответствующей длиной волны Ао, вывести условие Брэгга-Вульфа: 2а sin ^
= пАо, где а - расстояние между кристаллическими плоскостями, 1? - угол
рассеяния частицы.
683. Выяснить, какой характер будет иметь энергетический спектр
тормозных квантов, возникающих при рассеянии заряженных частиц на
монокристалле (ср. с задачей 681). Угол между направлением
распространения тормозного кванта и первоначальным импульсом частицы
фиксирован и мал, 1? -с 1. Частица ультрарелятивистская, <§о 3> тс2.
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле
В электромагнитном поле Е, Н на точечную частицу с зарядом е, движущуюся
со скоростью v, действует сила Лоренца
F = еЕ + |v х Н.
(XI. 16)
190 Глава XI
За единицу времени кинетическая энергия частицы меняется на величину
F-v = eE-v = g=^f, (XI. 17)
at
где § - энергия частицы (см. § 1).
Магнитное поле не совершает работы над частицей, так как магнит-
J л
нал сила перпендикулярна скорости. Из величин F и можно составить 4-
векгор (вектор силы Минковского):
Fj= ( F - i Д^=У (XI. 18)
V-y/l - V2/c2 CyJ 1 - v2/c2 )
4-сила выражается через тензор электромагнитного поля Fi = = |FikUk, где
Uk - 4-скорость частицы.
Дифференциальное уравнение движения частицы в четырехмерной записи имеет
вид:
^=eFi или m^ = lFikUk. (XI.19)
Проектируя эти уравнения на пространственную и временную оси, получим
уравнения движения в трехмерной форме и закон сохранения энергии:
р = еЕ + |v х Н, Т = ev • Е. (XI.20)
Здесь Т = § - тс2 - кинетическая энергия частицы, р - ее импульс, точкой
обозначено дифференцирование по времени t. Формулы (XI.20) применимы при
произвольной скорости частицы.
Функция Лагранжа заряженной частицы в электромагнитном поле с
потенциалами <р, А имеет вид: в релятивистском случае
L = -mc2Jl-^ -U; (XI.21)
в нерелятивистском случае
с2
L = т^_ _ j,- (XI.22)
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле
191
где
U = -§А • v + ар. (XI.23)
Величина U играет роль потенциальной энергии взаимодействия частицы с
внешним полем. Уравнения движения частицы могут быть записаны в
лагранжевой форме:
(XL24)
где qi, qi - обобщенные координаты и скорости.
Ток, возникающий при вращательном (орбитальном) движении точечной
заряженной частицы вокруг некоторого центра, характеризуется магнитным
моментом1
ш = xl, (XI.25)
где х = 2^ - гиромагнитное отношение, т - масса частицы, 1 = г х mv -
момент импульса. Во внешнем магнитном поле Н на частицу действует
вращательный момент N=m х Н, под действием которого момент импульса 1
изменяется со временем по закону ^ = N. Согласно (XI.25), зависимость
магнитного момента ш от времени определяется уравнением:
%=xmxH. (XI.26)
ut
Кроме механического и магнитного моментов, связанных с орбитальным
движением, микрочастицы обладают также собственным (спиновым)
механическим s и магнитным шо моментами, направленными параллельно или
антипараллельно:
Шо = xqs. (XI.27)
Для электрона хо = ^ < 0, где е - заряд электрона, т - его масса.
