Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
поперечной составляющей электрического момента и магнитным моментом,
имеющими одинаковый порядок величины. В этом случае
daa = а h и [(1 + 2пх sin а)2 + 3 cos2 а+
9с4
+п2(4-sin2a)+8n2 cosa+2nxn2 sin 2а] dfi,
_ 407Га4Л2а>4 Л , 3 "_2
= 27с* V 5 V'
где щ (г = х, у, z) - компоненты единичного вектора, указывающего
направление рассеяния.
Сечения рассеяния неполяризованной волны:
doa
u4h6
¦ sin2 a sin21
47TW4h6 *2 л
sin a.
dV 18c4 ln2(/i/a) ' 27c4 ln2(/i/a)
464. Вектор Ео поляризован в плоскости xz (рис. 87):
"to-.ll = ¦ (ШП"1 - "3cos2a + i(? + 1)2(1 - "5)X
x sin2 a - ^(e + 1 )nxnz sin 2aj d?t. Вектор Ео поляризован нормально к
плоскости xz:
daa± = ^ аJ1 . (?-1Л • (1 - sin2$ sin2 ip) dfi.
9c4 \e +1/
465. Полную напряженность электрического поля в некоторой точке
пространства можно представить в виде
Здесь
E(r ,t) = E0(r,f) + E'(r,t). E0(r ,t) = S0ei(-k'T-wt)
(1)
§ 3. Дифракция 423
- поле падающей волны, E'(r, t) - поле рассеянного (вторичного)
излучения.
В каждой точке внутри тепа (которое может быть неоднородным) вектор
поляризации P(r, t) пропорционален Е, а приближенно - So, так как
рассеянное поле много меньше падающего (Е' <С So) при (е - \)/Аж I.1
Рассеянное поле Е' может быть выражено через вектор Герца
Z(r, t) = J ^д'^ ехр[г(А:Л - wt)] dV' (2)
(см. гл. XII, формула (XII. 13)) формулой
Е' = rot rot Z - 47гР = S^ rot rot So ---- J ехр[г(к - kn) • г'] dV'.
^ (3)
Разность к - kn представляет собою изменение волнового вектора при
рассеянии; обозначим ее через q (q = 2fcsin в - угол рассеяния j. При
вычислении интеграла выберем полярную ось вдоль q, тогда
J exp[r(q • г')]r'2 dr' dCl = 4nsinqa~^acosqa (4)
При вычислении двойного вихря в (3) оставляем только члены,
пропорциональные 1 /г:
rotr"t*0i2&l = *> х ("" х ")]^У. Окончательно, для рассеянного поля Е'
получим
Е' = ^ х <*" х (5)
где ______
= 3(smq-qacoeqa) = ГЦ, , у
(,а)3 у<"а)
'Метод, применяемый при решении этой задачи, аналогичен методу Борна в
квантовой механике. Последний широко применяется при решении задач о
рассеянии частиц квантовомеханическими системами.
424
Глава VIII
Сравним выражение (5) с тем, которое имеет место при малых а (см. задачу
460). Переходя в (5) к пределу да <С 1, получим
. / i2/,3 с-_1 0ikr
Е= ^V>x(*oxn)]V' (6)
с
так как <р(да) и 1 при да -С 1.
С другой стороны, вычисляя Е' по формуле
. е&Г р _ 1
Е = пх(рхп)-, где р = тТ"9 С г ? + 2
- статический дипольный момент шара, найдем
. < |2/,3 с 1 "гкг
Е =^|^пх(*оХп)^. (6')
В (6') вместо множителя 1/3 стоит 1/(е+2). Однако противоречия между (6)
и (6') нет, так как (6) справедливо с точностью до 1/(е - 1).
Дифференциальное сечения рассеяния
daa(e, а) u>4a6(e - I)2 9/ w . 9 9 9 ч
----- =---------- ----ip(ga)(sin a + cos a cos 0) (7)
dQ 9c4 ' ' '
(углы 0 и a обозначены на рис. 85).
Это сечение отличается от сечения рассеяния малой диэлектрической сферой
(см. ответ к задаче 460) заменой в знаменателе (е+2)2 на 9 и множителем
цг(да), учитывающим интерференцию вторичных волн от различных элементов
сферы. Поэтому степень деполяризации рассеянного света будет такой же,
как в случае малой диэлектрической сферы:
р = cos2 0. (8)
Усреднение по поляризациям дает
d<7a($) u>4a6(e - l)2
dQ 18c4
-ip (ga)(l + cos 0).
Рассмотрим еще случай очень большой сферы, т. е. ка 1. Если углы таковы,
что и да 1, то <р(да) -> 0, и сечение в этой области углов очень мало. Из
явного вида д следует, что да 1 эквивалентно условию 0 1 /ка; таким
образом, если шар велик, то рассеяние происходит
вперед в интервал углов 0^1 /ка.
§ 3. Дифракция 425
466. При ka 1 функция ip2(qa), входящая в выражение дифференциального
сечения (см. предыдущую задачу), заметно отлична от нуля
только в узком интервале углов в ^ В этом интервале множитель (1 + + cos2
9) может считаться постоянным и равным 2. Поэтому имеем:
2жш4а6(е - I)2 9с4
7Г
J <p2(qa) sin#ей?.
Введем новую переменную у = qa = 2kasin9/2. В предельном случае ка S> 1,
получим окончательно:
7гш2а4(е - I)2 ~ Ш2 '
Для малого шара (ка <?. 1), заменяя (см. ответ к задаче 460) е + 2 на 3,
имеем:
87ги>4а6(е - I)2
& Я - ~
27 с4
Как видно из этих результатов, сечения по-разному зависят от частоты (~
ш4 и ~ си2) и от размера шара (~ а6 и ~ а4).
467. Исходим из соотношения
(Та = -4т Re /(Е X Н*) • nr2 dfi, (1)
Е0 J
где п = сга - сечение поглощения и интегрирование ведется по поверхности
сферы большого радиуса, окружающей рассеиватель. Формула (1) выражает тот
факт, что сечение поглощения пропорционально потоку энергии через
поверхность сферы, направленному к центру.
Подставляя в (1) выражение для Б из условия задачи и
Н =До{(по х e)eifcz + [n х F(n)]^}
426
Глава VIII
и используя условие поперечности п • F(n) = 0, получим:
1 IFI2
-2 Re(E х Н*) • п = (п0 • п) Н---j-+
Е0 г
+ |[(в • F) + (п0 • п)(е • F) - (е • п)(п0 • F)]e**(y *° +
+ ±[(е* • F*) + (п0 • п)(е* • F*) - (е* • п)(п0 • F*)]^^. (2)
При интегрировании по углам первое слагаемое даст нуль, а второе - полное
