Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
(3)
периодичности sin входящего в (2), число собственных частот системы
^n(t) = sin купе ШкЬ
(4)
(5)
Поскольку зависимость w от к нелинейна, и vg отличаются друг от друга -
имеет место дисперсия. Из (2) находим:
§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках 361
Величина ^ имеет смысл "длины волны" колебаний в дискретной цепочке;
для длинных волн (Л 3> а) имеем ka <С 1, откуда следует, что фазовая и
групповая скорости vv = vg = ujqа и не зависят от к - дисперсия
отсутствует. Графики зависимости из и vg от к приведены на рис. 74.
Электрические колебания рассмотренной цепочки аналогичны механическим
колебаниям линейной одноатомной цепочки, которая может служить одномерной
моделью кристалла. Индуктивность L аналогична массе атома, величина 1 /С
- коэффициенту жесткости1.
370. Дг = Ш ¦
7Г
Aoj
-ш2
371. Обозначим токи в контурах с самоиндукцией Li через в контурах с
самоиндукцией - через .
Уравнения Кирхгофа будут иметь вид:
Рис. 74
-^Jn + ±(2Jn -Sn- J^_i) = 0,
Jn-i) = 0.
(1)
Введя частоты uji =
, U)2 =
, получим
(2 u;21-uj2)Jn=uj21(J^ + J) (2из\ - uj2)J" = u)%(Jn + J,
Решение этой системы будем искать в виде
Jn = Aeixn, J' = Be"
(2)
(3)
'Подробнее о колебаниях атомных цепочек см., например, М. А.Леонтович,
Статистическая физика, Гостехиздат, 1944 г.; М. Борн и Хуан Кунь,
Динамическая теория кристаллических решеток, ИЛ, 1958 г. Аналогии между
электрическими и механическими колебаниями рассматриваются в книге Л.
Бриллюэна и М. Пароди [19], гл. 3 и 4.
362 Глава VII
где А, В, я - постоянные. Подставив эти решения в (2), получим
А( 2ш\ + и>2) = Ви>2( 1 + е~гх), В(2и>% - и>2) = -Aw|(l + е*х). (4)
Из равенства нулю определителя этой системы найдем связь между частотой
и> и я:
L)2 = U)2 + U>2 i ^(W1 + ^Ю2 - 4u>l<*>2 sin2 (5)
Чтобы получить весь спектр колебаний, нужно менять я в пределах от О до
7г. Значения я, как и в задаче 369, могут быть найдены из граничных
условий.
Наиболее существенным отличием от случая цепочки с одинаковыми звеньями
является то, что каждому значению я теперь соответствуют две частоты, как
следует из формулы (5). Поэтому существуют две ветви
Рис. 75
колебаний. Обозначим частоты этих колебаний через и и>-, где индексы "+"
и "-" соответствуют таким же знакам перед корнем в формуле (5).
Зависимость частот от я изображена графически на рис. 75. Колебания с
частотой ui- аналогичны колебаниям в цепочке с одинаковыми звеньями. В
частности, при малых я (длинные волны) имеем
= "
т. е. дисперсия отсутствует.
§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках 363
Для ветви lj+ при малых х получим выражение для закона дисперсии
вида
ш+ = а + бх2.
При х -> 0 фазовая скорость стремится к бесконечности, а групповая
скорость обращается в нуль.
Для исследования характера колебаний в обеих ветвях найдем отношение
амплитуд токов в соседних контурах для очень длинных х "С 1 и самых
коротких (х близко к 7г) волн. Из равенств (4) имеем при х<1: для ветви
lj-
для ветви lj+
(Л) =
\BJ+ л ?Г
Для ветви и)- колебания токов в соседних контурах происходят с одинаковой
амплитудой в одной фазе. Для ветви lj+ колебания в соседних контурах
противофазны, а амплитуды колебаний обратно пропорциональны
индуктивностям. При X = 7Г
ш+ = у/2ш 1, из- = у/2и)2-Переходя в формуле (4) к пределу х -> 7г,
получим
(s)+-°- (в)-0-
Таким образом, в предельном случае х = 7г колебания с частотой lj+ = =
происходят только в контурах с индуктивностями Li, а колебания
с частотой и)- = - в контурах с индуктивностями Ь2.
Рассмотренные в этой задаче колебания с частотами to- и uj+ являются
аналогом акустических и оптических колебаний в линейной атомной цепочке,
состоящей из атомов двух сортов с разными массами (см. литературу,
указанную на стр. 359).
372.
А = А$ + Bq%,
(1)
364
Глава VII
где <ji, <?2 - корни уравнения
q2- (2 + ^)9 + 1=0. (2)
Постоянные А, В определяются из граничных условий Jn = 0; (Jo -
- $\)Zi = U\. Второе условие означает, что между точками а'Ь' (см.
рис. 23) приложено напряжение U\. Используя равенство q\q2 = 1 вытекающее
из (2), получим окончательно:
U2 = JN-1Z2 = U1- 92-91
(1 - Qi)Q2 - (1 - 92)9^
373. Коэффициент передачи К определяется из результатов предыдущей
задачи:
к= 91-92
(1-92)9^- (1-91)9^
В знаменателе этого выражения имеются множители и q2 . Так как qi • q2 =
1, то возможны два случая:
а) Ы = Ы = 1; б) |qi| > 1, |qi| < 1.
В первом случае qx и q^ будут по модулю равны единице, К тоже будет
порядка единицы. Во втором случае при N " 1 |<7^| 3> 1, а |^| <С 1,
поэтому
К = 91 ~92 < 1.
(1 - 92 )qi
Интервалы частот, для которых реализуются случаи а) и б), определяются из
уравнения (2) задачи 372. Из него следует, что
Если подкоренное выражение отрицательно, то q\ и q2 - два комплексно
сопряженных корня, по модулю равных единице, т. е. осуществляется случай
а). При положительном подкоренном выражении, qi и q2 вещественны и
различны, т. е. имеет место случай б). Приравнивая нулю подкоренное
