Пространственные гиперзвуковые течения вязкого газа - Башкин В.А.
ISBN 5-02-015563-2
Скачать (прямая ссылка):
P = P0+ Pi(Si) + —. o = o0 + ai + —» Si = S-
(10.5)
g=gQ(X)+^g1(X) + ...,
где функции с индексом 0 соответствуют автомодельному решению. Подстановка (10.5) в систему уравнений (10.2)-(10.4) дает линейную систему уравнений для первого приближения, решение которой получено в [Нейланд В. Я., 1974]. Отметим, что при X = O(I) это решение не зависит от вида функции P1(S1). Выражение для изменения толщины вытеснения, формируемого в области X=O(I), имеет вид
O1=^Ap
1 ^Y2P0
где Ap =
/q cos (d1 — 90 sin o)1
dX-
-S(So-Zo2-«Po2) dk
(10.6)
Производная линейно зависит от координаты S;. Дифференцирование (10.6) по ? позволяет получить выражение
d*l _ (Y-D2
dAp
4YP0
/0 sin o)1 + 90 cos o)1
r ~>if„ f'2 *>ч /0ьшш1-гу0си5ш1 /1П7\
198
Гл. 10. НЕКОТОРЫЕ РЕЖИМЫ ОБТЕКАНИЯ ТРЕУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ
Решение для первого приближения не является равномерно точным, так как не учитывает влияния сил вязкости. Для удовлетворения граничных условий, заданных на поверхности крыла, необходимо ввести в рассмотрение область 2, в которой влияние сил вязкости и сил инерции в первом приближении одинаково. Пристеночная область 2 (см рис. 10.1) индуцирует изменение толщины вытеснения A1. Оценка для толщины области 2 и для масштабов функций в этой области получается в результате приравнивания в системе уравнений порядков членов, учитывающих влияние сил вязкости и сил инерции. Наконец, требование сращивания решений в областях 1 и 2 приводит к равенству порядков градиента давления и инерционных членов, что при известной толщине области 2 позволяет найти масштабы возмущенных функций /, tp и g. Выражение для изменения толщины вытеснения, формируемое в области 2, имеет вид
Для определения функции P1(S1) необходимо использовать условие взаимодействия. Предположение о том, что основной вклад в изменение толщины вытеснения формируется в области 1, приводит с учетом условия взаимодействия к функции вида р{ = c^f. Это достаточно легко получить, подставляя O1 (10.6) в выражение для P1 = с?у, которое получается в результате подстановки разложений для функций течения (10.5) в выражение для давления (см. (10.3)) и учитывая соотношение (10.7). Течение в области 2 индуцирует тогда изменение толщины A1 ъ 5]/3Рр которое больше по порядку величины, чем O1»SJiPp для всех допустимых значений а>0. Предположение о том, что основной вклад в толщину вытеснения формируется в области 2, также не приводит к самосогласованной схеме. В этом случае оказывается, что индуцированное возмущение давления больше, чем исходное возмущение.
Анализ условия взаимодействия показывает, что решение (10.5) существует, если суммарное изменение толщины вытеснения в первом приближении равно нулю:
Аналогичный характер взаимодействия описан в [Stewartson К., 1969], где изучено течение в окрестности задней кромки пластины, и в [Боголепов В. В., Нейланд В. Я., 1976], где исследовано обтекание малых неровностей, находящихся на дне ламинарного пограничного слоя. Выражение для функции P1(S1) вытекает из (10.7) и (10.8) и имеет вид / \
(C1 = const).
(10.8)
AO=O1H-A1=O.
(10.9)
(10.10)
§ 10.1. ЗАКРИТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ
199
Суммарное изменение толщины вытеснения может быть получено из (10.2)
А6
= V-I 27P0
Ap
(10Л1)
Первый интеграл в правой части (10.11) представляет собой вклад области 1 и, согласно (10.7), записывается в виде O1 = _ (Y-D2
4YP0
ApCu0Z1(J1. Второй интеграл в (10.11) представляет собой
вклад пристеночной области в изменение толщины вытеснения, для нахождения этого интеграла необходимо получить решение для области 2.
В области 2 вводится разложение функций
N]
N) <р2(л) + •••>
N S2Oi) + -.
P = P0 + с ехР |- + • • •» Tl = O(I),
(10.12)
ще с — произвольная постоянная. Первые члены разложения для функций /, <р и g являются асимптотическими представлениями функций /0, «р0 и g0 при Х-*0. Параметры a, b и d определяются из автомодельного решения. Подстановка (10.12) в систему уравнений (10.2)-(10.4) после ряда преобразований приводит к следующей системе уравнений для первого приближения:
z\ — 1Ii = гг — Лі = 1Ii2I "~ 22»
2з" "~ 1Ii = Лі^з ~~ z3» Z1(O) = ij(0) = z2(0) = Z^(O) = Z3(O) = 0,
Zj(OO) = -1+о(1), Z^(OO)=-In T)I + 0(1), 4(оо)=-In T11 + 0(1),
200
Гл. 10. НЕКОТОРЫЕ РЕЖИМЫ ОБТЕКАНИЯ ТРЕУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ
где
Z1 24HaMyO)0T4I* rf(Y_ 1} sln ^1(OCwIy1 + a sin O)1)•
ЛІМ iM „м /о COS O)1 — Ф? 8ІП O)1
sin со
(D0 (a cos U)1—^ sin O)1)"
Решение системы уравнений, описывающей течение в области 2, приводит с учетом (10.9) и (10.11) к выражению для собственного числа a
з
d2J2 sin2 U)1 Уь>о
^2=S (23(^)-23(00))^-
Зависимость а(х) представлена на рис. 10.2. Видно, что с ростом угла стреловидности х = л/2 — W0 собственное значение <х(х) монотонно растет и стремится к бесконечности при х~*Х* = я/2 ~~ <*>*. Рост собственного значения а(х) связан с уменьшением интенсивности передачи возмущений вверх по потоку. Подобное изменение характера передачи возмущений может объясняться тем, что изменение толщины вытеснения в области 2 обратно пропорционально зависит от степеней как собственного числа <х(х)> так и параметра O)1.
