Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
- 15 В результате было установлено, что дно зоны проводимости Ge и Si не лежит в центре зоны Бриллюэна (Г-точка). У германия самые низкие минимумы зоны проводимости находятся в направлениях [111] на границе зоны Бриллюэна в L-точках, т. е. в центрах гексагональных граней, а у кремния абсолютные минимумы зоны проводимости расположены в направлекиях [100] внутри зоны Бриллюэна. Один из этих минимумов для Ge и Si изображен на рис. 3.
йзоэнергетические поверхности около минимумов зоны проводимости представляют собой эллипсоиды вращения с осью вращения, направленной по оси типа [111] для Ge и [100] для Si. Расположение этих эллипсоидов в k-пространстве показано на рис. 4 и 5. Если энергию зоны проводимости в точке минимума принять за нуль и кг направить по оси вращения, то закон дисперсии вблизи каждого минимума будет иметь вид
' + (3.3)
где тх и /те,, — соответственно поперечные и продольные эффективные массы электрона проводимости.
Таким_образом, зона проводимости Ge и Si имеет несколько минимумов (8 для Ge и 6 для Si) или долин, причем вблизи каждой долины энергия є зависит от компонент волнового вектора к параболически (3.3). Такая модель носит название зона со многими минимумами или многодолинная параболическая модель. Отметим, что поскольку в германии минимумы лежат на границе зоны Бриллюэна (точка L1 рис. 4), то число полных эллипсоидов, приходящихся на первую зону Бриллюэна, равно 4, тогда как кремний ийеет 6 полных эллипсоидов.,
16 Компоненты эффективной массы т± и тн были определены из эксперимента по циклотронному резонансу [19]. Результаты эксперимента приведены в табл. 1. Коэффициент анизотропии зоны 7 = TnllZт± можно определить и из измерений гальваномагнитных эффектов [24, 25].
Рис. 4. Расположение минимумов и изо-энергетические поверхности зоны проводимости германия. Указаны в единицах я/а координаты L-точск, где энергия минимальна (центры эллипсоидов). Например, [111] означает L(я/а, —я/а,
о
л/а); а = 5,66 А — постоянная кубической решетки германия
Рис. 5. Расположения минимумов и изоэнергетические поверхности зоны проводимости кремния
Рассмотрим структуру вершины валентной зоны в точке к= О. Без учета спин-орбитального взаимодействия валентная зона в точке k = 0 трехкратно вырождена. Если двигаться в любом направлении от точки k = 0, то вырождение полностью снимается и получаются три ветви зоны. Исключение составляют-симметричные направления [100] и [111]. Учет спин-орбитального
Таблица 1
Основные параметры краев зон германия и кремния
Параметры Германий Кремний Параметры , Германий Кремний
mHlmO TnJm0 У = mKfm1L eg, эВ при OK при 300 К XW-SzfJdT, эВ/гр A0, эВ 1,58 0,08 19,3 0,74 0,66 -4,4 0,280 0,92 0,19 4,8.. 1,21 1,09 -4,1 0,035 А В \С\ TUjImQ mjm^ m&TTiQ milm2 —13,1 —8,9 12,4 0,33 0,042 0,077 7,9 -4,1 —1,1 4,1 0,49 0,160 0,245 3,1
2 Б. М. Аскеров 17 взаимодействия полностью снимает вырождение зон в точках к Ф 0 и частично в точке k = 0, так что одра ветвь отщепляется от других на величину энергии спин-орбитального взаимодействия Д0. В результате получается следующая картина верхнего края валентной зоны Ge и Si, схематически изображенная на рис. 3, т. е. имеем^три зоны: зоны тяжелых (Ft) и легких (F2) дырок, вырожденные в ,точке k = 0, и зона F3, отщепленная на величину A0 спин-орбитальным взаимодействием*).
Закон дисперсии зон Fi и Vz, вырожденных в экстремальной точке k = 0 в кубических кристаллах, к которым относятся' Ge и Si, имеет вид [И, 25]
«1,2 (k) = - (ЪЧ2т0) [Ak2 =F V Bi^ + C1 + к\к\ + kpcl)], (3.4)
где А, В и С — постоянные величины, которые могут быть оценены теоретически и определены экспериментально [19] (см. табл. 1).
Закон дисперсии (3.4) является квадратичным, но анизотропным. Йзоэнергетические поверхности в этом случае не являются сферами, а имеют более сложный вид. Эти поверхности носят названия деформированных сфер или гофрированных поверх* ностей.
Вводя в k-пространстве сферическую систему координат с полярной осью, направленной по кг, и усредняя по углам, закон дисперсии (3.4) приближенно можно представить в виде [4]
є1і2 (k)«=F VB^TcvE), (3.5)
т. е. получаем две изотропные зоны тяжелых и легких дырок:
B1 (к)» -Ш2/2ти е,(к)® -Ъгкг!2тг (3.6)
со скалярными эффективными массами
= + . (3.7)
соответственно. Сравнивая численные значения (3.4) при различных направлениях к (типа [100], [110], [111]) с усредненным выраже-нием (3.5), легко увидим, что приближенное выражение (3.5) правильно описывает зону легких дырок и менее законно для зоны тяжелых дырок, и поэтому формула (3.7) для тяжелых дырок может служить только для оценки эффективной массы тй для эффективной массы т2 (3.7) дает значение, близкое к истинному. -
*) Заметим, что каждая из этих трех зон двукратно вырождена по спину, так как в кристаллах типа алмаза, где есть центр инверсии, учет спин-орбитального взаимодействия не снимает вырождения по спину [см.
(1-14)]. ___________ .
18 Зона Уз невырождена, поэтому вблизи экстремума k = 0 она изотропна для кубических кристаллов Ge и Si:
