Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
h д h _ / h д \ /о п\
P=T-Tv и т- д- )' <2-9)
соответствующую собственному значению р = ЇЇк, так как
A JLeUtT ^ftkeIk-г. (2.10)
ід г х '
Если состояние частицы описывается волновой функцией, являющейся собственной функцией какого-либо оператора, то соответствующая оператору наблюдаемая (физическая величина!) имеет в этом состоянии определенное значение, равное собственному значению оператора. Поэтому электрон с волновой функцией т|зк (г) обладает определенным импульсом, который пропорционален к:
р = Hk (2.11)
и скоростью V = р/т:
V = —. (2.12)
т у '
С учетом этого энергию (2.7) можно записать в привычном классическом виде:
ё = (2-13)
Величину к можно также интерпретировать как волновой вектор. Действительно, плоская волна eik r имеет постоянное значение на любой плоскости, перпендикулярной к (поскольку все такие плоскости задаются уравнениями к-г = const), в то время как на прямых, параллельных к, она является периодической функцией; соответствующую длину волны
^ = 2T (2.14).
называют длиной волны де Бройля.
Воспользуемся теперь граничными условиями (2.5). Они разрешают существование только определенных дискретных значений к, поскольку в общем случае волновая функция (2.6) удовлетворяет соотношениям (2.5) лишь при выполнении условия
glhxL ^ elhuL _. gihzL _ 1 _ (2.15)
Учитывая, что ег = 1 только при z = 2лin, где п — целое число *), находим, что компоненты волнового вектора к должны иметь вид
, 2 ппх , 2зхге!/ . Innz „
Kx = —J—, ky = —j-—, kz = L , пх, пу, пг — целые числа. (2.1b)
Таким образом, в трехмерном пространстве с декартовыми осями кх, Icy, кх (его называют ^-пространством) разрешены только те волновые векторы, ком-
1J Говоря о «делом числе», мы всегда будем иметь в виду не только положительные, но также и отрицательные целые числа и нуль. 48
Глава 1
поненты которых по всем трем осям представляют собой целые кратные от 2п/Ь. Это показано (для двумерного случая) на фиг. 2.2.
На практике условие квантования (2.16) обычно используют только следующим образом. Часто необходимо знать, сколько разрешенных значений к имеется внутри какой-либо области в /е-пространстве, которая очень велика по сравнению с 2я/L и содержит поэтому огромное число разрешенных точек. Когда размеры области очень велики с превосходной точностью можно считать, что число разрешенных точек равно объему этой области ^-пространства,
деленному на объем в ^-пространстве, приходящийся на одну точку в решетке • разрешенных значений к. Последний объем (см. фиг. 2.2) равен (2n/L)3. Отсюда . следует, что область объемом ?2 в к-пространстве содержит _JfL Q QF
ш
т
Zjc L
Фиг. 2.2. Точки двумерного й-простран-ства, имеющие координаты кх = 2лnx/L, ку = 2л TiylL.
(2л/?)з~8лз (2-17)
разрешенных значений к, или эквивалентно, что число разрешенных значений к в единице объема в /е-пространстве (т. е. плотность уровней в /е-пространст-ве) равно
ш- (2Л8>
Отметим, что на одну точку приходится область площадью (2яIL)'. B d-мерном случае на одну точку приходится объем (2л/Dd.
В действительности ниже нам придется иметь дело лишь с такими большими ( ~1022 точек) и такими регулярными областями /е-пространства (обычно это сферы), что фактически в любых задачах и для любых целей соотношения (2.17) и (2.18) можно считать точными. Скоро мы начнем применять эти важные формулы для расчета.
Поскольку, как мы считаем, электроны не взаимодействуют друг с другом, jV-электронное основное состояние можно построить, размещая электроны на только что найденных разрешенных одноэлектронных уровнях. При таком построении (как и при построении состояний многоэлектронных атомов) чрезвычайно важную роль играет принцип запрета Паули: на каждый одноэлектрон-ный уровень мы можем поместить не более одного электрона. Для задания одно-электронного уровня необходимо указать его волновой вектор к и проекцию спина на произвольно выбранную ось; эта проекция может принимать одно из двух значений: Й/2 или —%12. Поэтому с каждым волновым вектором к связаны два электронных уровня, по одному для каждого направления спина электрона.
Построение iV-электронного основного состояния начнем с того, что поместим два электрона на одноэлектронный уровень k = 0, который обладает наиболее низкой возможной одноэлектронной энергией Ш = 0. Затем будем продолжать добавлять электроны, последовательно заполняя те одноэлектрон-ные уровни с наиболее низкой энергией, которые еще остаются незанятыми. Так как энергия одноэлектронного уровня прямо пропорциональна квадрату его волнового вектора [см. (2.7)], то при чрезвычайно больших N область, зани-
1J И область не имеет слишком неправильной формы — только пренебрежимо малая часть всех точек может лежать на расстоянии О (2nlL) от поверхности. Теория металлов Зоммерфельда
49
маемая электронами, практически представляет собой сферу Если радиус этой сферы обозначить kF (фермиевский радиус), то ее объем Q есть 4л/$/3. В соответствии с (2.17) число разрешенных значений к внутри сферы равно
