Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
2. В модели Друде, как и в кинетической теории, столкновения — это мгновенные события, внезапно меняющие скорость электрона. Друде связывал их с тем, что электроны отскакивают от непроницаемых сердцевин ионов (а не считал их электрон-электронными столкновениями по аналогии с доминирующим механизмом столкновений в обычном газе). Позднее мы увидим, что при обычных условиях рассеяние электронов на электронах действительно является одним из наименее существенных механизмов рассеяния в металле. Однако простая механическая модель (фиг. 1.2), согласно которой электрон отскакивает от иона к иону, весьма далека от действительности 2). К счастью, во многих задачах это не важно: для качественного (и даже количественного) понимания проводимости металлов достаточно просто предположить существование какого-то механизма рассеяния, не вдаваясь в подробности относительно того, каков именно этот механизм. Используя в своем анализе лишь несколько общих свойств процесса столкновения, мы можем не связывать себя конкретной картиной столкновений. Эти общие характерные черты описываются следующими двумя предположениями.
3. Будем предполагать, что за единицу времени электрон испытывает столкновение (т. е. внезапное изменение скорости) с вероятностью, равной 1/т. Имеется в виду, что для электрона вероятность испытать столкновение в течение бесконечно малого промежутка времени dt равна просто dtSx. Время т называют временем релаксации, или временем свободного пробега; оно играет фундаментальную роль в теории проводимости металлов. Из этого предположения следует, что электрон, выбранный наугад в настоящий момент времени, будет двигаться в среднем в течение времени т до его следующего столкновения и уже двигался в среднем в течение времени т с момента предыдущего столкновения 3). В простейших приложениях модели Друде считают, что время релаксации т не зависит от пространственного положения электрона
Строго говоря, мы не можем утверждать, что электрон-ионное взаимодействие совершенно не учитывается, поскольку в модели Друде неявно предполагается, что движение электронов ограничено объемом металла. Очевидно, такое ограничение обусловлено притяжением электронов к положительно заряженным нонам. Чтобы грубо учесть эффекты электрон-ионного и электрон-электронного взаимодействия, подобные этому, к внешним полям часто добавляют соответственно подобранное внутреннее поле, описывающее усредненный эффект, обязанный этому взаимодействию.
2) В течение некоторого времени физики были заняты решением трудных, но несущественных задач связанных с точным попаданием электрона в пон в каждом отдельном столкновении. Следует решительно избегать буквального понимания фиг. 1.2.
3) См. задачу 1.
Фиг. 1.2. Траектория электрона проводимости, рассеивающегося на ионах, в соответствии с наивными представленнями
Друде- 22
Глава 1
и его скорости. Позднее мы увидим, что во многих, но не во всех задачах такое предположение оказывается удивительно хорошим.
4. Предполагается, что электроны приходят в состояние теплового равновесия со своим окружением исключительно благодаря столкновениям 1). Считается, что столкновения поддерживают локальное термодинамическое равновесие чрезвычайно простым способом: скорость электрона сразу же после столкновения не связана с его скоростью до столкновения, а направлена случайным образом, причем ее величина соответствует той температуре, которая превалирует в области, где происходило столкновение. Поэтому чем более горячей является область, где происходит столкновение, тем большей скоростью обладает электрон после столкновения.
В оставшейся части главы мы проиллюстрируем эти положения, рассмотрев наиболее важные приложения теории и обращая внимание на то, насколько хорошо теория описывает наблюдаемые явления.
СТАТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛА
В соответствии с законом Ома ток / через проводник пропорционален падению напряжения V вдоль проводника: V = IR. Сопротивление проводника R зависит от его размеров, но не зависит от величины тока или падения напряжения. Модель Друде позволяет объяснить такую зависимость и оценить величину сопротивления.
Обычно зависимость R от формы проводника устраняют, вводя новую величину, характеризующую уже только сам металл, из которого сделан проводник. Удельное сопротивление р определяется как коэффициент пропорциональности между напряженностью электрического поля E в некоторой точке металла и вызываемой им плотностью тока j 2):
E = pi. (1.3)
Плотность тока j представляет собой вектор, параллельный потоку заряда; его величина равна количеству заряда, проходящему за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку. Поэтому, если через проводник длиной L и площадью поперечного сечения А идет постоянный ток I, то плотность тока равна / = НА. Так как падение напряжения на проводнике равно V — EL, из формулы (1.3) следует, что V = IpLlA и, следовательно, R = рЫА.
Если все п электронов в единице объема движутся с одинаковой скоростью V, то плотность тока параллельна v. Далее, за время dt электроны сместятся на расстояние v dt в направлении v, поэтому за это время площадь А, перпендикулярную направлению тока, пересекут п (v dt) А электронов. Так как каждый электрон несет заряд —е, полный заряд, пересекающий А за время dt, равен — nevA dt, и, следовательно, плотность тока равна
