Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
*) Возможны также более сложные решения, называемые волнами спиновой плотности (гл. 32). :334
Глава 12
вид
S (к,) Фі,
(17.18)
где
(17Л9)
J". ! \ 1 , 1-Я2 T I+1
F\z) = T + S- In T=J '
(17.20)
Это показывает, что плоские волны действительно являются решением уравнения (17.15) и что энергия одноэлектронного уровня с волновым вектором к дается формулой (17.19). Функция F (х) изображена на фиг. 17.1, а, а энергия % (к) - на фиг. 17.1, б.
Заслуживают обсуждения несколько свойств энергии (17.19).
1. Хотя одноэлектронные уровни Хартри — Фока остаются плоскими волнами, энергия электрона на уровне eik"r теперь равна Н2к2/2т плюс член, описывающий эффекты электрон-электронного взаимодействия. Чтобы рассчитать вклад от такого взаимодействия в полную энергию iV-электронной системы, мы должны просуммировать эту поправку по всем k<^kF, умножить ее на 2 (поскольку при каждом к заняты два спиновых уровня) и поделить на 2 (поскольку, суммируя энергию взаимодействия данного электрона по всем электронам, мы учитываем каждую пару электронов дважды). Проделав это, получим
Первое слагаемое уже вычислялось нами в гл. 2 [формула (2.31)]. Если представить второе слагаемое в виде интеграла, его вычисление дает
Обычно этот результат записывают в ридбергах (е2/2ад = 1 ридберг =13,6 эВ) и используют параметр гJa0 (см. стр. 19):
Поскольку в металлах значение г Ja0 варьируется от 2 до 6, второе слагаемое в (17.23) сравнимо по своей величине с первым. Следовательно, при всяком вычислении электронной энергии металла в модели свободных электронов нужно учитывать электрон-электронное взаимодействие.
2. С большим трудом были вычислены [1] точные значения нескольких первых членов разложения энергии основного состояния электронного газа при больших плотностях (т. е. при малых гJa0): .
-W = [-^F—+ '°'0622 1п {г°/а°У0,096+OirJa0)] ридберг. (17.24)
Обратите внимание, что первые два члена совпадают с результатом Хартри — Фока (17.23). Поскольку в металле значение rja0 не мало, применимость этого
(17.22) Фиг. 17.1. а — график функции F (х), определяемой формулой (17,20).
Хотя производная этой функции обращается в бесконечность при х = 1, расходимость является логарифмической и ее нельзя обнаружить ни при каком изменении масштаба графика. При больших х Функция F (х)
ведет себя как 1/Зж'.
б — энергия Хартри — Фока (17.19) для rsla0 = [4.
Энергию Хартри — Фока (нижняя кривая) можно представить в виде
где X = h/hр,. Be можно сравнить с энергией свободных электронов (верхняя кривая). Обратите внимание, что обменный член не только существенно повивил энергию свободных электронов, но и значительно увеличил «глубину» воны (от 1 до 2,33 в испольъуемых адесь единицах). Это не подтверждается экспериментами по МЯГКОЙ рентгеновской ИЛИ фотоэлектронной ЭМИССИИ, ПОЗВОЛЯЮЩИМИ измерить «глубину» 80НЫ. («Глубина» воны — расстояние по энергиям между дном воны и уровнем Ферми.— Прим. тгерев.) :336
Глава 12
разложения сомнительна, однако его вывод стал одной из первых систематических попыток построения более точной теории электрон-электронного взаимодействия. Следующие два члена в (17.24) и все остальные поправки к результату Хартри — Фока принято относить к корреляционной энергии. Отметим, что величина корреляционной энергии не имеет физического смысла — она просто показывает, какую ошибку мы допускаем, пользуясь довольно грубым приближением первого порядка *).
3. Среднее отклонение энергии отдельного электрона от величины h2k2l2m, обусловленное «обменом», равно второму слагаемому в EIN, т. е.
= -Tj^ = ридберг" (17'25)
Основываясь на этом выражении, Слэтер [2] предположил, что в неоднородных системах и, в частности, при наличии периодического потенциала решетки уравнения Хартри — Фока можно уппостить, заменив обменный член в (17.15) локальной энергией, равной удвоенной величине (17.25), где kF рассчитывается по локальной плотности. В предложенном им уравнении влияние обмена учитывается просто путем добавления к хартриевскому члену Uel (г) дополнительного потенциала Uexch^ (г), определяемого выражением
f/exchg (r) = _ 2)95 (азп (г))1/, ридберг. (17.26)
Хотя подобная процедура груба и ее корректность не доказана, ее часто используют при расчетах зонной структуры. Дискутируется (см., например, 13, 4]) вопрос, лучше ли усреднять обменный член для свободных электронов по всем значениям к или же рассчитывать его при к = kF, однако из-за грубости приближения такая полемика лишена глубокого содержания. По поводу подобного упрощения можно лишь заметить, что оно аппроксимирует эффекты «обмена» путем введения потенциала, который благоприятствует областям с высокой плотностью электронов, тем самым грубо имитируя зависимость от плотности обменного члена в выражении для плотности энергии свободных -Электронов.
4. Уравнение (17.19) обладает одной весьма настораживающей особенностью: производная дШІдк логарифмически стремится к бесконечности при к = kF (см. фиг. 17.1). Поскольку (Hh) дШІдк \ k=kF есть как раз скорость тех электронов, которые определяют характерные свойства металла, этот результат довольно неприятен. Наличие особенности у одноэлектронных энергий при к = кF делает несправедливым разложение Зоммерфельда (2.70) и приводит к тому, что при низкой температуре электронная теплоемкость оказывается пропорциональной не Т, а Т/\ In T |.
