Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
момент времени t она должна также быть равной 1/4л3 и не зависеть от выбора области. Следовательно, полуклассическое движение в промежутках между
Фиг. 12.2. Полуклассические траектории
в гА-пространстве. Область Qt' содержит в момент t' только те точки, которые в результате полуклассического движения перешли из области Qt, где они находились в момент ?. Согласно теореме Лиувилля, области Qj и Qt' имеют равные объемы. Иллюстрация приведена для двумерного rfc-пространства, лежащего в плоскости чертежа, т. е. для одномерного полуклассического движения.
1J См. приложение 3, где дано доказательство применимости этой теоремы к полуклассическому движению. С точки зрения квантовой механики инертность заполненных зон прямо следует из принципа Паули: «плотность в фазовом пространстве» не может возрастать, если каждый уровень содержит максимальное число электронов, допускаемое принципом Паули; кроме того, если запрещены межзонные переходы, она не может и уменьшаться, поскольку число электронов на уровне может понизиться только при наличии в зоне частично заполненных уровней, на которые способны перейти эти электроны. Для доказательства логической непротиворечивости следует, однако, продемонстрировать, что подобный вывод непосредственно следует и из самих полуклассических уравнений движения, не прибегая к более фундаментальной квантовой теории, вместо которой мы пользуемся этой моделью.
2) Время г' не обязательно должно быть больше t — одинаковый объем имеют как те области, в которые Qt перейдет в будущем, так и существовавшие ранее области, которые перешли в Qt. :226
Глава 12
столкновениями не может изменить распределения электронов в заполненной зоне, даже если имеются внешние поля, зависящие от времени и пространственных координат
Однако зона с постоянной плотностью 1/4я3 в фазовом пространстве не может давать вклада в электрический ток или в поток тепла. Чтобы показать это, рассмотрим элемент фазового объема dk с центром в точке к. Вклад этого элемента в плотность потока электронов равен (1/4яэ) (1 /її) дШ (k)/dk, так как все электроны из этого элемента фазового объема обладают скоростью v (k) = = (1/Й) дШ (к)/<?к. Проводя суммирование по всем к в зоне Бриллюэна, получаем, что полный вклад заполненной зоны в плотность электрического тока и плотность потока энергии равен
/ ч с rfk 1 / л о а а\ 1 = (-^)]-^-^-, (12.16)
. г д sf,n і «г J«= j-sr isWir-W =
х-
Но оба эти выражения обращаются в нуль в силу теоремы 2), согласно которой интеграл по любой элементарной ячейке от градиента периодической функции равен нулю.
Таким образом, при расчете электронных характеристик твердого тела необходимо учитывать только частично заполненные зоны. Это объясняет возникновение загадочного параметра теории свободных электронов — числа электронов проводимости. Проводимость обусловлена лишь электронами из частично заполненных зон. Допущение Друде, согласно которому число электронов проводимости в расчете на один атом равно его валентности, часто оказывается справедливым, потому что частично заполненными являются только зоны, образованные атомными валентными электронами.
Очевидно, твердое тело, у которого все зоны полностью заполнены или совершенно пусты, не может быть проводником электричества и тепла (если учитывать лишь перенос тепла электронами). Поскольку число уровней в каждой зоне равно удвоенному числу (примитивных) элементарных ячеек в кристалле, все зоны могут быть заполненными или пустыми только в твердых телах с четным числом электронов в расчете на одну элементарную ячейку. Заметим,
Столкновения также не будут влиять на стабильность заполненных зон, если по-прежнему предполагать (как в гл. 1, стр. 21 и в гл. 13, стр. 247), что какими бы ни были столкновения, они не меняют термодинамически равновесного распределения электронов. Напомним, что для зон, все энергии которых лежат гораэдо ниже энергии Ферми, распределение с постоянной плотностью 1/4я3 как раз и является термодинамически равновесным распределением при нулевой температуре.
2) Теорема доказана в приложении К. В данном случае периодические функции есть % (к) для j и [« (к)]2 для Jjf.
Фиг. 12.3. Двумерный пример, поясняющий, почему двухвалентное твердое тело
может быть проводником. Соответствующая свободным электронам окружность, площадь которой равна площади первой зоны Бриллюэна (I) квадратной решетки Бравэ, простирается также и во вторую зону (II), в результате чего возникают две частично заполненные зоны. Под действием достаточно сильного периодического потенциала дырочные «карманы» в первой зоне и электронные карманы во второй зоне могут стянуться в нуль. В общем случае, однако, слабый периодический потенциал всегда создает перекрытие (одномерный случай составляет исключение). Полуклассическая модель динамики электронов
227"
что обратное неверно: твердые тела с четным числом электронов на одну элементарную ячейку могут быть (и часто являются) проводниками, поскольку из-за перекрытия зон возможно возникновение основного состояния с несколькими частично заполненными зонами (см., например, фиг. 12.3). Таким образом, нами получено необходимое, но далеко не достаточное условие того, чтобы вещество не было проводником электричества и тепла.
